Question

如圖，圓內(nèi)接六邊形ABCDEF滿足AB=CD=EF，且對(duì)角線AD、BE、CF相交于一點(diǎn)Q，設(shè)AD與CF的交點(diǎn)為P．
求證：（1）

QD

ED

=

AC

EC

；（2）

CP

PE

=

AC2

CE2

．

Answer 1

證明：（1）連AE，
∵AB=CD=EF，
∴弧AB=弧CD=弧EF，
∴∠AEB=∠CED，
∴∠QED=∠BEC+∠CED=∠BEC+∠AEB=∠AEC，
又∵∠QDE=∠ACE，
∴△QDE∽△ACE，
∴

QD

ED

=

AC

EC

；

（2）∵弧CD=弧EF，
∴DE∥CF，
∴

CP

PE

=

QC

DE

，∠CQD=∠QDE，
∵∠QED對(duì)BD弧，∠ADC對(duì)AC弧，
而DC弧=AB弧，
∴∠QED=∠ADC，
∴△QDC∽△DEQ，
∴

QC

DQ

=

DQ

DE

，即QC=

DQ2

DE

，
∴

CP

PE

=

QC

DE

=

DQ2

DE2

，
由（1）的結(jié)論

QD

ED

=

AC

EC

得，

CP

PE

=

QC

DE

=

DQ2

DE2

=

AC 2

EC2

．