Question

如圖，圓內接六邊形ABCDEF滿足AB=CD=EF，且對角線AD、BE、CF相交于一點Q，設AD與CF的交點為P．
求證：（1）

QD

ED

=

AC

EC

；（2）

CP

PE

=

AC2

CE2

．

Answer 1

分析：（1）由AB=CD=EF，根據考查了在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及它們對應的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對應相等得到弧AB=弧CD=弧EF，得∠AEB=∠CED，得到∠QED=∠BEC+∠CED=∠BEC+∠AEB=∠AEC，則△QDE∽△ACE，即有

QD

ED

=

AC

EC

；
（2）由弧CD=弧EF，得到DE∥CF，則

CP

PE

=

QC

DE

，∠CQD=∠QDE，而∠QED對BD弧，∠ADC對AC弧，所以∠QED=∠ADC，證得△QCD∽△DEQ，于是有

QC

DQ

=

DQ

DE

，即QC=

DQ2

DE

，得到

CP

PE

=

QC

DE

=

DQ2

DE2

，再利用（1）的結論即可得到

CP

PE

=

AC2

CE2

．

解答：證明：（1）連AE，
∵AB=CD=EF，
∴弧AB=弧CD=弧EF，
∴∠AEB=∠CED，
∴∠QED=∠BEC+∠CED=∠BEC+∠AEB=∠AEC，
又∵∠QDE=∠ACE，
∴△QDE∽△ACE，
∴

QD

ED

=

AC

EC

；

（2）∵弧CD=弧EF，
∴DE∥CF，
∴

CP

PE

=

QC

DE

，∠CQD=∠QDE，
∵∠QED對BD弧，∠ADC對AC弧，
而DC弧=AB弧，
∴∠QED=∠ADC，
∴△QDC∽△DEQ，
∴

QC

DQ

=

DQ

DE

，即QC=

DQ2

DE

，
∴

CP

PE

=

QC

DE

=

DQ2

DE2

，
由（1）的結論

QD

ED

=

AC

EC

得，

CP

PE

=

QC

DE

=

DQ2

DE2

=

AC 2

EC2

．

點評：本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及它們對應的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對應相等．也考查了三角形相似的判定與性質．