Question

4．如圖，點(diǎn)C是AB上不與點(diǎn)A、B重合的任意一點(diǎn)，AB=8cn，分別以AC、BC為斜邊在AB同側(cè)作等腰直角三角形（△AMC和△CNB），則當(dāng)BC=4cm時(shí)，兩個(gè)等腰直角三角形的面積和最�。�

Answer 1

分析 作MD⊥AC，NE⊥BC，設(shè)AC=xcm，則BC=（8-x）cm，將兩三角形面積之和表示為S=$\frac{1}{2}$x•$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$•（8-x）•$\frac{1}{2}$（8-x），轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答．

解答 解：作MD⊥AC，NE⊥BC，
∵△AMC和△CNB是等腰直角三角形，
∴DC=MD，EB=NE，
∴設(shè)AC=xcm，則BC=（8-x）cm，
∴兩三角形面積之和為S=$\frac{1}{2}$•x•$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$•（8-x）•$\frac{1}{2}$（8-x）
=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$（64+x²-16x）
=$\frac{1}{2}$x²+16+$\frac{1}{2}$x²-4x
=$\frac{1}{2}$x²-4x+16
當(dāng)AC=-$\frac{-4}{2×\frac{1}{2}}$=4，
即BC=8-4=4cm時(shí)，兩個(gè)等腰三角形的面積最�。�
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形和二次函數(shù)的最值，將三角形的面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．