Question

13．如圖，四邊形ABCD為矩形，E為BC邊中點(diǎn)，以AD為直徑的⊙O與AE交于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形AOCE為平行四邊形；
（2）求證：CF與⊙O相切；
（3）若F為AE的中點(diǎn)，求∠ADF的大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD∥BC，AD=BC，∠ADC=90°，由E為BC邊中點(diǎn)，AO=DO，得到AO=$\frac{1}{2}$AD，EC=$\frac{1}{2}$BC，等量代換得到AO=EC，AO∥EC，即可得到結(jié)論；
（2）利用平行四邊形的判定方法得出四邊形OAEC是平行四邊形，進(jìn)而得出△ODC≌△OFC（SAS），求出OF⊥CF，進(jìn)而得出答案；
（3）如圖，連接DE，由AD是直徑，得到∠AFD=90°，根據(jù)點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)，得到DF為AE的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DE=AD，推出△ABE≌△DCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=DE，推出三角形ADE為等邊三角形，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠ADC=90°，
∵E為BC邊中點(diǎn)，AO=DO，
∴AO=$\frac{1}{2}$AD，EC=$\frac{1}{2}$BC，
∴AO=EC，AO∥EC，
∴四邊形OAEC是平行四邊形；

（2）如圖1，連接OF，
∵四邊形OAEC是平行四邊形
∴AE∥OC，
∴∠DOC=∠OAF，
∠FOC=∠OFA，
∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA，
∴∠DOC=∠FOC，
在△ODC與△OFC中，$\left\{\begin{array}{l}{OD=OF}\\{∠DOC=∠FOC}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△ODC≌△OFC（SAS），
∴∠OFC=∠ODC=90°，
∴OF⊥CF，
∴CF與⊙O相切；

（3）如圖2，連接DE，
∵AD是直徑，
∴∠AFD=90°，
∵點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)，
∴DF為AE的垂直平分線，
∴DE=AD，
在△ABE與R△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠B=∠BCD=90°}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCE，
∴AE=DE，
∴AE=DE=AD，
∴三角形ADE為等邊三角形，
∴∠DAF=60°，
∴∠ADF=30°．

點(diǎn)評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理和平行四邊形的判定、切線的判定等知識(shí)，得出△ODC≌△OFC是解題關(guān)鍵．