Question

3．如圖，已知二次函數圖象的頂點在原點，直線y=$\frac{1}{2}$x+4的圖象與該二次函數的圖象交于點A（m，8），直線與x軸的交點為C，與y軸的交點為B．
（1）求這個二次函數的解析式與B點坐標；
（2）P為線段AB上的一個動點（點P與A，B不重合），過P作x軸的垂線與這個二次函數的圖象的交于點D，與x軸交于點E，設線段PD長為h，點P的橫坐標為t，求h與t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，在線段AB上是否存在點P．使得以點P，E，B為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A點坐標代入直線解析式，可求得m的值，可求得A點坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式，結合直線解析式可求得B點坐標；
（2）由直線和拋物線解析式可分別用t表示出P、D的坐標，則可表示出PD的長，即找到h與t的關系式，由點P在線段AB上可確定出t的取值范圍；
（3）可設E點坐標為（n，0），則可用n表示出P點坐標，從而可表示出PB、PE、BE的長度，當△PEB為等腰三角形時，則有PB=PE、PB=BE或PE=BE三種情況，分別可得到關于n的方程，可求得n的值，則可求得P點坐標．

解答 解：
（1）∵點A（m，8）在直線y=$\frac{1}{2}$x+4上，
∴$\frac{1}{2}$m+4=8，解得m=8，
∴A（8，8），
∵拋物線過原點，
∴可設二次函數的解析式為y=ax²（a≠0），
∵A（8，8）在y=ax²圖象上，
∴8=a×8²，解得a=$\frac{1}{8}$，
∴二次函數的解析式為y=$\frac{1}{8}$x²，
∵直線y=x+4與y軸交于點B，
∴令x=0時可得y=4，即B（0，4）；
（2）∵P點在y=$\frac{1}{2}$x+4上，且橫坐標為t，
∴P（t，$\frac{1}{2}$t+4），
又PD⊥X軸于E，
∴D（t，$\frac{1}{8}{t}^{2}$），E（t，0），
∵PD=h=PE-DE=（$\frac{1}{2}$t+4）-$\frac{1}{8}{t}^{2}$，
∴h=-$\frac{1}{8}{t}^{2}$+$\frac{1}{2}$t+4，
∵P與A，B不重合且在線段上，
∴0＜t＜8，
即h與t的函數關系式為h=-$\frac{1}{8}{t}^{2}$+$\frac{1}{2}$t+4（0＜t＜8）；
（3）設E（n，0）（0＜n＜8），則P（n，$\frac{1}{2}$n+4），且B（0，4），
∴PB=$\sqrt{{n}^{2}+（\frac{1}{2}n+4-4）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$n，PE=$\frac{1}{2}$n+4，BE=$\sqrt{{n}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{{n}^{2}+16}$，
若△PEB為等腰三角形，則有PB=PE、PB=BE或PE=BE三種情況，
①當PB=PE時，則有$\frac{\sqrt{5}}{2}$n=$\frac{1}{2}$n+4，解得n=2$\sqrt{5}$+2，此時P點坐標為（2$\sqrt{5}$+2，$\sqrt{5}$+5）；
②當PB=BE時，則有$\frac{\sqrt{5}}{2}$n=$\sqrt{{n}^{2}+16}$，解得n=8（此時P與A重合，不合題意，舍去）或n=-8＜0舍去；
③當PE=BE時，則有$\frac{1}{2}$n+4=$\sqrt{{n}^{2}+16}$，解得n=0（舍去）或n=$\frac{16}{3}$，此時P點坐標為（$\frac{16}{3}$，$\frac{20}{3}$）；
綜上可知存在滿足條件的P點，其坐標為（2$\sqrt{5}$+2，$\sqrt{5}$+5）或（$\frac{16}{3}$，$\frac{20}{3}$）．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、函數與坐標軸的交點、二次函數的性質、勾股定理、等腰三角形的性質、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中求得A點坐標是解題的關鍵，注意過原點的拋物線線的解析式的形式，在（2）中用t分別表示出P、D的坐標是解題的關鍵，在（3）中用E點的坐標分別表示出PB、PE和BE的長是解題的關鍵，注意分三種情況分別討論．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．