Question

16．如圖，一居民樓底部B與山腳P位于同一水平線上，小李在P處測得居民樓頂A的仰角為60°，然后他從P處沿坡腳為45°的上坡向上走到C處，這時，PC=20$\sqrt{2}$m，點C與點A在同一水平線上，A、B、P、C在同一平面內．
（1）求居民樓AB的高度；
（2）求C、A之間的距離．（結果保留根號）

Answer 1

分析 （1）首先分析圖形：根據題意構造直角三角形，利用在Rt△CPE中，由sin45°=$\frac{CE}{PC}$，得出EC的長度，進而可求出答案；
（2）在Rt△CPE中，tan60°=$\frac{AB}{BP}$，得出BP的長，進而得出PE的長，即可得出答案．

解答 解：（1）過點C作CE⊥BP于點E，
在Rt△CPE中，∵PC=20$\sqrt{2}$m，∠CPE=45°，
∴sin45°=$\frac{CE}{PC}$，
∴CE=PC•sin45°=20$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=20m，
∵點C與點A在同一水平線上，
∴AB=CE=20m，
答：居民樓AB的高度約為20m；

（2）在Rt△ABP中，∵∠APB=60°，
∴tan60°=$\frac{AB}{BP}$，
∴BP=$\frac{20}{\sqrt{3}}$=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$m，
∵PE=CE=20m，
∴AC=BE=（$\frac{20\sqrt{3}}{3}$+20）m，
答：C、A之間的距離為（$\frac{20\sqrt{3}}{3}$+20）m．

點評 此題主要考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，要求學生借助仰角、坡角關系構造直角三角形，并結合圖形利用三角函數求解．