Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x=-2．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）連接AC、BC，若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE，設AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）在（2）的基礎上試說明S是否存在最大值？若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）解方程x²-10x+16=0得其兩根為x₁=2，x₂=8，根據題意可寫出B（2，0）、C（0，8），由拋物線的對稱性可得點A的坐標；把A，B，C三點坐標代入拋物線解析式即可求得拋物線的解析式．
（2）設BE邊上的高為h，先求得△BEF∽△BAC，然后依據相似三角形的性質“對應高的比等于相似比”，可得：BE邊上的高：BA邊上的高=BE：BA，求得h=8-m．最后依據S=S_△CEF=S_△ABC-S_△ACE-S_△BEF　即可求得．
（3）把（1）中求得的解析式轉化成頂點式，即可求得S的最大值和此時E點坐標，從而判斷出OC⊥EB且平分EB，即可求得△BCE為等腰三角形．

解答： 解：（1）解方程x²-10x+16=0得x₁=2，x₂=8，
∵點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，且OB＜OC，
∴點B的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，8），
又∵拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸是直線x=-2，
∴由拋物線的對稱性可得點A的坐標為（-6，0），
∴A、B、C三點的坐標分別是A（-6，0）、B（2，0）、C（0，8）．
∵點C（0，8）在拋物線y=ax²+bx+c的圖象上，
∴c=8，
將A（-6，0）、B（2，0）代入表達式y=ax²+bx+8，得

a=- 2 3 b=- 8 3

，
∴所求拋物線的表達式為y=-

2

3

x²-

8

3

x+8．

（2）如圖，依題意，AE=m，則BE=8-m．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
設BE邊上的高為h，
由相似三角形的性質“對應高的比等于相似比”，
得：BE邊上的高：BA邊上的高=BE：BA，
即h：OC=BE：BA，
∴h：8=（8-m）：8，
∴h=8-m．
∴S=S_△CEF=S_△ABC-S_△ACE-S_△BEF，
=

1

2

×8×8-

1

2

×8m-

1

2

（8-m）²，
化簡整理得S=-

1

2

m²+4m　（0＜m＜8）；

（3）存在最大值．
∵S=-

1

2

m²+4m
=-

1

2

（m²-8m+4²-4²）=-

1

2

（m-4）²+8，
∵-

1

2

＜0，
∴當m=4時，S有最大值8，
S_最大值=8．
∵m=4，
∴AE=4，
∴點E的坐標為E（-2，0），
∵B（2，0），
∴OC⊥EB且平分EB，
∴△BCE為等腰三角形．

點評：本題考查了一元二次方程的解法以及拋物線的交點坐標的求法，待定系數法求解析式，三角形相似的判定和性質，三角形面積的應用以及函數的最值問題．