Question

（2012•宜賓）如圖，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動，△DEF運動，并滿足：點E在邊BC上沿B到C的方向運動，且DE、始終經過點A，EF與AC交于M點．
（1）求證：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF運動過程中，重疊部分能否構成等腰三角形？若能，求出BE的長；若不能，請說明理由；
（3）當線段AM最短時，求重疊部分的面積．

Answer 1

分析：（1）由AB=AC，根據等邊對等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF與三角形外角的性質，易證得∠CEM=∠BAE，則可證得：△ABE∽△ECM；
（2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分別從AE=EM與AM=EM去分析，注意利用全等三角形與相似三角形的性質求解即可求得答案；
（3）首先設BE=x，由△ABE∽△ECM，根據相似三角形的對應邊成比例，易得CM=-

x2

5

+

6

5

x=-

1

5

（x-3）²+

9

5

，繼而求得AM的值，利用二次函數的性質，即可求得線段AM的最小值，繼而求得重疊部分的面積．

解答：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF=∠B，
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠CEM=∠BAE，
∴△ABE∽△ECM；

（2）能．
解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，
∴∠AME＞∠AEF，
∴AE≠AM；
當AE=EM時，則△ABE≌△ECM，
∴CE=AB=5，
∴BE=BC-EC=6-5=1，
當AM=EM時，則∠MAE=∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，
即∠CAB=∠CEA，
又∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴

CE

AC

=

AC

CB

，
∴CE=

AC2

CB

=

25

6

，
∴BE=6-

25

6

=

11

6

；
若AE=AM，此時E點與B點重合，M點與C點重合，即BE=0．
∴BE=1或

11

6

或0．

（3）解：設BE=x，
又∵△ABE∽△ECM，
∴

CM

BE

=

CE

AB

，
即：

CM

x

=

6-x

5

，
∴CM=-

x2

5

+

6

5

x=-

1

5

（x-3）²+

9

5

，
∴AM=5-CM═

1

5

（x-3）²+

16

5

，
∴當x=3時，AM最短為

16

5

，
又∵當BE=x=3=

1

2

BC時，
∴點E為BC的中點，
∴AE⊥BC，
∴AE=

AB2-BE2

=4，
此時，EF⊥AC，
∴EM=

CE2-CM2

=

12

5

，
S_△AEM=

1

2

×

16

5

×

12

5

=

96

25

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及二次函數的最值問題．此題難度較大，注意數形結合思想、分類討論思想與函數思想的應用是解此題的關鍵．