Question

19．如圖，正方形AEFG的頂點E、G在正方形ABCD的邊AB、AD上，連接BF、DF、CF
（1）求證：BF=DF；
（2）設AB=1，AE=a（0＜a＜1）是否存在a的值，使得正方形AEFG的面積等于梯形BEFC的面積？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據正方形的性質得出BE=DG，再利用△BEF≌△DGF求得BF=DF；
（2）由四邊形ABCD和AEFG都是正方形，得到BC=AB=1，EF=AE=1-a，根據正方形AEFG的面積等于梯形BEFC的面積列方程即可得到結論；

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD和AEFG都是正方形，
∴AB=AD，AE=AG=EF=FG，∠BEF=∠DGF=90°，
∴BE=AB-AE，DG=AD-AG，
∴BE=DG，
在△BEF和△DGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DG}\\{∠BEF=∠DGF}\\{EF=GF}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△DGF（SAS），
∴BF=DF；
（2）解：存在，
∵四邊形ABCD和AEFG都是正方形，
∴BC=AB=1，EF=AE=1-a，
∵正方形AEFG的面積等于梯形BEFC的面積，
∴a²=$\frac{1}{2}$×（1+a）（1-a），
∴a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（負值舍去），
∴當a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，正方形AEFG的面積等于梯形BEFC的面積．

點評 本題主要考查正方形的性質及三角形全等的判定和性質，要熟練掌握基本基礎知識，靈活應用解決問題．