Question

設凸四邊形ABCD的對角線AC、BD的交點為M，過點M作AD的平行線分別交AB、CD于點E、F，交BC的延長線于點O，P是以O為圓心OM為半徑的圓上一點（位置如圖所示），求證：∠OPF=∠OEP．

Answer 1

證明：作AD、BO的延長線相交于G，
∵OE∥GA，
∴在△CGA中，=，
又在△BGA中，=，由此得=，而OM是⊙O的半徑，
∴OM=OP，
∴=，
∴△POE∽△POF，
∴∠OPF=∠OEP．
分析：作AD、BO的延長線相交于G，由OE∥GA，則=，再由=，從而得出=，由OM=OP，可以得出△POE∽△POF，從而證出∠OPF=∠OEP．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質以及平行線分線段成比例定理，是一道綜合題，難度較大．