Question

設凸四邊形ABCD的對角線AC、BD的交點為M，過點M作AD的平行線分別交AB、CD于點E、F，交BC的延長線于點O，P是以O為圓心OM為半徑的圓上一點（位置如圖所示），求證：∠OPF=∠OEP．

Answer 1

分析：作AD、BO的延長線相交于G，由OE∥GA，則

OF

OM

=

GD

GA

，再由

OM

OE

=

GD

GA

，從而得出

OF

OM

=

OM

OE

，由OM=OP，可以得出△POE∽△POF，從而證出∠OPF=∠OEP．

解答：證明：作AD、BO的延長線相交于G，
∵OE∥GA，
∴在△CGA中，

OF

OM

=

GD

GA

，
又在△BGA中，

OM

OE

=

GD

GA

，由此得

OF

OM

=

OM

OE

，而OM是⊙O的半徑，
∴OM=OP，
∴

OF

OP

=

OP

OE

，
∴△POE∽△POF，
∴∠OPF=∠OEP．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質以及平行線分線段成比例定理，是一道綜合題，難度較大．