Question

14．如圖，AB為半圓O的直徑，AD、BC分別切⊙O于A，B兩點，CD切⊙O于點E，連接OD、OC，下列結論：①∠DOC=90°，②AD+BC=CD，③S_△AOD：S_△BOC=AD²：AO²，④OD：OC=DE：OE，⑤OD²=DE•CD，正確的有（　　）

• A． 2個
• B． 3個
• C． 4個
• D． 5個

Answer 1

分析 連接OE，利用切線長定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代換可得出CD=AD+BC，選項②正確；由AD=ED，OD為公共邊，利用HL可得出直角三角形ADO與直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而這四個角之和為平角，可得出∠DOC為直角，選項①正確；由∠DOC與∠DEO都為直角，再由一對公共角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似，可得出三角形DEO與三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD²=DE•CD，選項⑤正確；由△AOD∽△BOC，可得選項③正確；由△ODE∽△OEC，可得選項④正確．

解答 解：連接OE，如圖所示：
∵AD與圓O相切，DC與圓O相切，BC與圓O相切，
∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，
∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，
∴CD=DE+EC=AD+BC，選項②正確；
在Rt△ADO和Rt△EDO中，$\left\{\begin{array}{l}{OD=OD}\\{DA=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），
∴∠AOD=∠EOD，
同理Rt△CEO≌Rt△CBO，
∴∠EOC=∠BOC，
又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，
∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，
即∠DOC=90°，選項①正確；
∴∠DOC=∠DEO=90°，
又∠EDO=∠ODC，
∴△EDO∽△ODC，
∴$\frac{OD}{CD}=\frac{DE}{OD}$，即OD²=DC•DE，選項⑤正確；
∵∠AOD+∠COB=∠AOD+∠ADO=90°，
∠A=∠B=90°，
∴△AOD∽△BOC，
∴$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△BOC}}$=（$\frac{AD}{OB}$）²=（$\frac{AD}{AO}$）²=$\frac{A{D}^{2}}{A{O}^{2}}$，選項③正確；
同理△ODE∽△OEC，
∴OD：OC=DE：OE，選項④正確；
故選D．

點評 此題考查了切線的性質，切線長定理，相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，利用了轉化的數學思想，熟練掌握切線長定理，證明三角形全等和三角形相似是解本題的關鍵．