Question

9．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD外一點(diǎn)，EA=4，EB=3，且∠AEB=45°，則ED的長(zhǎng)為（　　）

• A． $\sqrt{23}$
• B． 2$\sqrt{10}$
• C． $\sqrt{41}$
• D． 5$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 如圖，作AM⊥EB．EK⊥CD存在分別為M、K．EK交AB于N，先求出AB，再利用面積法求出EN，再根據(jù)DE=$\sqrt{E{K}^{2}+D{K}^{2}}$即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖，作AM⊥EB．EK⊥CD存在分別為M、K．EK交AB于N．

∵∠AEB=45°，AE=4，
∴EM=AM=2$\sqrt{2}$，
∴BM=3-2$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{A{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（3-2\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{25-12\sqrt{2}}$，
∵$\frac{1}{2}$•AB•EN=$\frac{1}{2}$EB•AM，
∴EN=$\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{25-12\sqrt{2}}}$，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠NAD=∠ADK=∠DKN=90°．
∴四邊形ANKD是矩形，
∴AN=DK，
∴AN²=DK²=AE²-EN²，
∴DE=$\sqrt{E{K}^{2}+D{K}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{25-12\sqrt{2}}}）^{2}+（\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{25-12\sqrt{2}}}+\sqrt{25-12\sqrt{2}}）^{2}}$=$\sqrt{41}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 此題分別考查了正方形的性質(zhì)、三角形的面積及勾股定理，綜合性比較強(qiáng)，解題時(shí)要求熟練掌握相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)才能很好解決問(wèn)題．