Question

已知：拋物線y=x²+ax+a-2．
（1）求證：不論a取何值時，拋物線y=x²+ax+a-2與x軸都有兩個不同的交點．
（2）設這個二次函數的圖象與x軸相交于A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁、x₂的平方和為3，求a的值．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：（1）利用關于x的一元二次方程x²+ax+a-2=0的根的判別式的符號進行證明；
（2）利用根與系數的關系寫出x₁、x₂的平方和是x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2 x₁．x₂=a²-2a+4=3，由此可以求得a的值．

解答：（1）證明：△=a²-4（a-2），=（a-2）²+4．
∴不論a取何值時，拋物線y=x²+ax+a-2與x軸都有兩個不同的交點；

（2）解：∵x₁+x₂=-a，x₁．x₂=a-2，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2 x₁．x₂=a²-2a+4=3
∴a=1．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點．解題時，注意一元二次方程與二次函數解析式間的轉化關系．