Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=DC，E、F分別是AD、BC的中點，G、H分別是BD、AC的中點．
（1）請判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由．
（2）連接EF與GH，猜想EF與GH有怎樣的特殊關系？請證明你的猜想．

Answer 1

考點：中點四邊形

專題：

分析：（1）首先運用三角形中位線定理可得到FG∥AB，HE∥AB，FH∥CD，GE∥DC，從而在根據平行于同一條直線的兩直線平行得到GE∥FH，GF∥EH，可得到四邊形ABCD是平行四邊形，再運用三角形中位線定理證明鄰邊相等，從而證明它是菱形．
（2）利用菱形的對角線的性質直接寫出兩者之間的關系即可．

解答：解：（1）證明：∵四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是BC、AD、BD、AC的中點，
∴FG∥AB，HE∥AB，FH∥CD，GE∥DC，
∴GE∥FH，GF∥EH（平行于同一條直線的兩直線平行）；
∴四邊形GFHE是平行四邊形，
∵四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是BC、AD、BD、AC的中點，
∴FG是△ABD的中位線，GE是△BCD的中位線，
∴GF=

1

2

AB，GE=

1

2

CD，
∵AB=CD，
∴GF=GE，
∴四邊形EHFG是菱形．

（2）垂直且平分；
∵連接EF與GH，猜想EF與GH有怎樣的特殊關系？請證明你的猜想．
∴EF⊥GH，且互相平分．

點評：此題主要考查了三角形中位線定理和菱形的判定方法，題目比較典型，又有綜合性，難度不大．