Question

18．如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D；
（1）求證：△ACD∽△CBD；
（2）如圖2，延長DC至點G，聯結BG，過點A作AF⊥BG，垂足為F，AF交CD于點E，求證：CD²=DE•DG．

Answer 1

分析 （1）根據垂直的定義得到∠ADC=∠CDB=90°，根據余角的性質得到∠ACD=∠B，由于∠ADC=∠CDB，即可得到結論；
（2）根據∠ACB=90°，CD⊥AB，得到∠CAD=∠BCD，推出Rt△ACD∽Rt△CBD，于是得到CD²=AD•BD，根據AF⊥BG，GD⊥AB，證得∠EDA=∠EFG=∠GDP=90°，推出△BGD∽△ADE，于是得到AD•BD=DG•DE即可得到結論．

解答 證明：（1）∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠BCD+∠B=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B，
又∵∠ADC=∠CDB，
∴△ACD∽△CBD；

（2）∵AF⊥BG，
∴∠AFB=90°，
∴∠FAB+∠GBA=90°，
∵∠GDB=90°，
∴∠G+∠GBA=90°，
∴∠G=∠FAB，
又∵∠ADE=∠GDB=90°，
∴△ADE∽△GDB，
∴$\frac{AD}{GD}=\frac{DE}{BD}$，
∴AD•BD=DE•DG，
∵△ACD∽△CBD，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，
∴CD²=AD•BD，
∴CD²=DE•DG．

點評 此題主要考查的是相似三角形的判定和性質，垂直的定義，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．