Question

12．已知平行四邊形ABCD中，點E是邊BC的中點，DE與AC相交于點F，設$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，那么$\overrightarrow{FD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$ （用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的式子表示）

Answer 1

分析 根據平行四邊形的性質及中點的定義得BC∥AD、BC=AD=2EC，再證△ADF∽△CEF得$\frac{AF}{AC}$=$\frac{2}{3}$，根據$\overrightarrow{FD}$=$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$）可得答案．

解答 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，點E是邊BC的中點，
∴BC∥AD，BC=AD=2EC，
∴△ADF∽△CEF，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{AD}{EC}$=2，
則$\frac{AF}{AC}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\overrightarrow{FD}$=$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AF}$
=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$
=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$）
=$\overrightarrow{b}$-$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）
=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$，
故答案為：$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$．

點評 本題主要考查平行四邊形的性質、相似三角形的判定與性質及向量的基本運算，熟練掌握向量的運算法則是解題的關鍵．