Question

14．閱讀下列解題過程：$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}$=$\frac{1•（\sqrt{5}-\sqrt{4}）}{（\sqrt{5}+\sqrt{4}）（\sqrt{5}-\sqrt{4}）}$=$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{（\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{4}）^{2}}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{4}$=$\sqrt{5}$-2；
$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$=$\frac{1•（\sqrt{6}-\sqrt{5}）}{（\sqrt{6}+\sqrt{5}）（\sqrt{6}-\sqrt{5}）}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{（\sqrt{6}）^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{5}$；
請回答下列問題：
（1）觀察上面解題過程，請直接寫出$\frac{1}{{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}}$的結果為$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$；
（2）利用上面所提供的解法，請求出下式的值
（$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{{\sqrt{2012}+\sqrt{2011}}}$）（$\sqrt{2012}$+1）

Answer 1

分析 （1）根據閱讀材料中的方法得出結果即可；
（2）原式第一個括號中各項分母有理化后，計算即可得到結果．

解答 解：（1）根據題意得：$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=$\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}{（\sqrt{n}+\sqrt{n+1}）（\sqrt{n}-\sqrt{n-1}）}$=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$；
（2）原式=（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{2012}$-$\sqrt{2011}$）（$\sqrt{2012}$+1）=（$\sqrt{2012}$-1）（$\sqrt{2012}$+1）=2012-1=2011．
故答案為：（1）$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$

點評 此題考查了分母有理化，弄清閱讀材料中分母有理化的方法是解本題的關鍵．