Question

19．已知x₁，x₂是方程2x²-x-7=0的兩根．
求（1）x₁²+x₂²             
（2）2x₁²+x₂-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）首先根據一元二次方程的根與系數的關系得到x₁+x₂=$\frac{1}{2}$，x₁x₂=-$\frac{7}{2}$，而x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，然后把前面的值代入即可求出其值；
（2）根據方程解的定義得到2x₁²-x₁-7=0，求得2x₁²-x₁=7，然后整體代入計算即可．

解答 解：（1）∵x₁、x₂是方程2x²-x-7=0的兩根，
∴x₁+x₂=$\frac{1}{2}$，x₁x₂=-$\frac{7}{2}$，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（$\frac{1}{2}$）²-2×（-$\frac{7}{2}$）=$\frac{1}{4}$+7=$\frac{29}{4}$．即x₁²+x₂² 的值是$\frac{29}{4}$；
（2）∵x₁是方程2x²-x-7=0的實數根，
∴2x₁²-x₁-7=0，
∴2x₁²-x₁=7，
∴2x₁²+x₂-$\frac{1}{2}$=$\frac{13}{2}$．

點評 此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．