Question

13．閱讀下面材料：
小偉遇到這樣一個問題：如圖1，在正三角形ABC內有一點P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度數．  小偉是這樣思考的：如圖2，利用旋轉和全等的知識構造△AP′C，連接PP′，得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決．
（1）請你回答：圖1中∠APB的度數等于150°．
參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問題：
（2）如圖3，在正方形ABCD內有一點P，且PA=2$\sqrt{2}$，PB=1，PD=$\sqrt{17}$，求∠APB的度數和正方形的邊長．

Answer 1

分析 （1）把△APB繞點A逆時針旋轉60°得到△ACP′，根據旋轉的性質可得P′A=PA，P′C=PB，∠PAP′=60°，然后求出△APP′是等邊三角形，根據等邊三角形的性質求出PP′=PA=3，∠AP′P=60°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′C=90°，然后求出∠AP′C，即為∠APB的度數；
（2）把△APB繞點A逆時針旋轉90°得到△ADP′，根據旋轉的性質可得P′A=PA，P′D=PB，∠PAP′=90°，然后判斷出△APP′是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質求出PP′，∠AP′P=45°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′D=90°，然后求出∠AP′D，即為∠APB的度數；再求出點P′、P、B三點共線，過點A作AE⊥PP′于E，根據等腰直角三角形的性質求出AE=PE=$\frac{1}{2}$PP′，然后求出BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理列式求出AB即可．

解答 解：（1）如圖2，把△APB繞點A逆時針旋轉60°得到△ACP′，
由旋轉的性質，P′A=PA=3，P′D=PB=4，∠PAP′=60°，
∴△APP′是等邊三角形，
∴PP′=PA=3，∠AP′P=60°，
∵PP′²+P′C²=3²+4²=25，PC²=5²=25，
∴PP′²+P′C²=PC²，
∴∠PP′C=90°，
∴∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；
故∠APB=∠AP′C=150°；
故答案為150°．
（2）如圖3，把△APB繞點A逆時針旋轉90°得到△ADP′，
由旋轉的性質，P′A=PA=2$\sqrt{2}$，P′D=PB=1，∠PAP′=90°，
∴△APP′是等腰直角三角形，
∴PP′=$\sqrt{2}$PA=$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=4，∠AP′P=45°，
∵PP′²+P′D²=4²+1²=17，PD²=（$\sqrt{17}$^）2=17，
∴PP′²+P′D²=PD²，
∴∠PP′D=90°，
∴∠AP′D=∠AP′P+∠PP′D=45°+90°=135°，
故∠APB=∠AP′D=135°，
∵∠APB+∠APP′=135°+45°=180°，
∴點P′、P、B三點共線，
過點A作AE⊥PP′于E，
則AE=PE=$\frac{1}{2}$PP′=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴BE=PE+PB=2+1=3，
在Rt△ABE中，AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$．

點評 本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，正方形的性質，勾股定理以及勾股定理逆定理的應用，全等三角形的判定與性質，求正方形的邊長有一定的難度，作輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵．