Question

（本題14分）如圖11，在△ABC中，∠ACB=，AC=BC=2，M是邊AC的中點，
CH⊥BM于H.

（1）試求sin∠MCH的值；
（2）求證：∠ABM=∠CAH；
（3）若D是邊AB上的點，且使△AHD為等腰三角形，請直接寫出AD的長為________.

Answer 1

解：（1）在△MBC中，∠MCB=，BC=2，
又∵M是邊AC的中點，
∴AM=MC=BC=1，——————————————————（1分）
∴MB=， ————————————————（1分）
又CH⊥BM于H，則∠MHC=，
∴∠MCH=∠MBC，——————————————————（1分）
∴sin∠MCH=.————————————————（1分）
（2）在△MHC中，.———————（1分）
∴AM²=MC²=，即，————————（2分）
又∵∠AMH=∠BMA，
∴△AMH∽△BMA，——————————————————（1分）
∴∠ABM=∠CAH. ——————————————————（1分）
（3）、、.—————————————————（5分）

略