Question

（本小題滿分10分）
如圖，在平面直角坐標系中，直線L：y=-2x-8分別與x軸、y軸相交于A、B兩點，點P(0,k)是y軸的負半軸上的一個動點，以P為圓心，3為半徑作⊙P。

（1）連結PA，若PA=PB，試判斷⊙P與X軸的位置關系，并說明理由；
（2）當K為何值時，以⊙P與直線L的兩個交點和圓心P為頂點的三角形是正三角形？

Answer 1

（１）由直線L的解析式可知A（-4，0），B（0，-8）


設OP=X，則BP=8-X，AP=8-X
由勾股定理得  X² + 4² =（8-X）²
解得    X =" 3    " ---------------2分
∴ OP =" R" =" 3    "
∴⊙P與X軸相切      --------------2分
（2）分兩種情況討論：
①當圓心P在線段OB上
由⊿AOB ∽ ⊿PEB得      
把AO=4，AB=4，PE=代入比例式得                  PB=             --------------------2分
∴  OP =" " 8－   ∴  K = －8   -----1分
②當圓心P在線段OB的延長線上時：
由⊿AOB ∽ ⊿PEB同樣可得   PB=
∴  OP =" " 8 ＋     ∴  K = －－8 （2分）
∴當K=－8或－－8時，以⊙P與直線L的兩個交點和圓心P為頂點的三角形是正三角形。     --------------1分

略