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16.如圖①,矩形OABC中,A(6,0)、C(0,2$\sqrt{3}$),D(0,3$\sqrt{3}$),射線l過點D且與x軸平行,點P、Q分別是l和x軸正半軸上動點,滿足∠PQO=60°.
(1)點B的坐標是(6,2$\sqrt{3}$);∠CAO═30度;(直接填空)
(2)如圖②,當點Q與點A重合時,PO、PQ分別交BC于點E、F,求此時四邊形OEFQ的面積;
(3)若OA的中點為N,線段PQ與線段AC相交于點M,是否存在點P,使△MNA為等腰三角形?若存在,請直接寫出線段DP的長;若不存在,請說明理由.

分析 (1)由四邊形OABC是矩形,根據矩形的性質,即可求得點B的坐標;由正切函數,即可求得∠CAO的度數;
(2)求出△POA的面積,證明△PEF∽△POA,由對應高的比等于相似比得出相似比,求出面積比,即可得出四邊形的面積;
(3)分別從MN=AN,AM=AN與AM=MN去分析求解即可求得答案.

解答 解:(1)∵四邊形OABC是矩形,
∴AB=OC,OA=BC,OA∥BC,
∵A(6,0)、C(0,2$\sqrt{3}$),
∴點B的坐標為:(6,2$\sqrt{3}$);
故答案為:(6,2$\sqrt{3}$);30°;
②∵tan∠CAO=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴∠CAO=30°
故答案為:(6,2$\sqrt{3}$);30;
(2)△POA的面積=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$,
∵OA∥BC,
∴△PEF∽△POA,相似比為$\frac{DC}{DO}$=$\frac{3\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$,
∴$\frac{{S}_{△PWF}}{{S}_{△POA}}$=$\frac{1}{9}$,
∴四邊形OEFQ的面積=$\frac{8}{9}$S△POA=$\frac{8}{9}$×9$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$;
(3)設DP的長為m,分情況討論:
①如圖2,MN=AN=3時,
則∠AMN=∠MAN=30°,
∴∠MNO=60°,
∵∠PQO=60°,
即∠MQO=60°
∴點N與Q重合,
∴點P與D重合,
∴此時DP=0;
②如圖3,AM=AN時,作MJ⊥x軸于J、PI⊥x軸于I;
MJ=MQ•sin60°=AQ•sin60°=(OA-IQ-OI)•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$(3-m)=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{1}{2}$AN=$\frac{3}{2}$,
可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$(3-m)
解得:m=3-$\sqrt{3}$;
③AM=NM時,此時M的橫坐標是4.5,
如圖4,過點P作PI⊥OA于I,過點M作MG⊥OA于G,
∴MG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴QI=$\frac{PI}{tan60°}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=3,GQ=$\frac{MG}{tan60°}$=$\frac{1}{2}$,
∴IG=3-0.5=2.5,AG=$\frac{1}{2}$AN=1.5,
∴OI=2,
∴m=2.
綜上所述:存在點P,使△MNA為等腰三角形,線段DP的長為0或3-$\sqrt{3}$或2.

點評 此題是四邊形綜合題目,考查了矩形的性質,相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質以及直角三角形的性質等知識.此題綜合性較強,難度較大,注意數形結合思想與分類討論思想的應用.

練習冊系列答案
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