Question

【題目】定義：在平面直角坐標系中，點P(x，y)的橫、縱坐標的絕對值之和叫做點P(x，y)的勾股值，記[P]＝|x|+|y|．

(1)已知M(p，2p)在反比例函數y＝的圖象上，且[M]＝3，求反比例函數的解析式；

(2)已知點A是直線y＝x+2上的點，且[A]＝4，求點A的坐標；

(3)若拋物線y＝ax2+bx+1與直線y＝x只有一個交點C，已知點C在第一象限，且2≤[C]≤4，令t＝2b2﹣4a+2020，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）(1，3) 或（-3，-1）；（3）2018≤t≤2019

【解析】

(1)由題意得|p|+|2p|＝3，則p＝±1，故M(1，2)或(﹣1，﹣2)，即可求解；

(2)設點A的坐標為(m，n)，因為A是直線y＝x+2上一點．且[A]＝4，則有，分情況討論即可求解；

(3) 由題意得方程組只有一組實數解，進而求出4a＝(b﹣1)2，原方程可化為(b﹣1)x2+4(b﹣1)x+4＝0，則x1＝x2＝，故C(，)，而且2≤[C]≤4，即可得1≤≤2或﹣2≤≤﹣1，解得：﹣1≤b≤0或2≤b≤3（舍去），然后根據t＝2b2﹣4a+2020＝2b2﹣(b﹣1)2+2020＝b2+2b+2019＝(b+1)2+2018，即可求解．

解：(1)由題意得|p|+|2p|＝3，

∴p＝±1，

∴M(1，2)或(﹣1，﹣2)，

∴k＝xy＝2，

∴反比例函數的解析式為；

(2)設點A坐標為(m，n)，

∵點A是直線y＝x+2上一點．且[A]＝4，則有，

∵點A在第一、二、三象限，

∴①當A在第一象限時，m＞0，n＞0，|m|＝m，|n|＝n，

此時，，解得；

②當A在第二象限時，m＜0，n＞0，|m|＝﹣m，|n|＝n，

此時，，無解；

③當A在第三象限時，m＜0，n＜0，|m|＝﹣m，|n|＝﹣n，

此時，，解得；

∴點A坐標為(1，3)或（-3，-1）；

(3)由題意得，方程組只有一組實數解，

消去y得ax2+(b﹣1)x+1＝0，則＝0，

∴(b﹣1)2﹣4a＝0，

∴4a＝(b﹣1)2，

∴原方程可化為(b﹣1)x2+4(b﹣1)x+4＝0，

∴x1＝x2＝，

∴C(，)，

∵2≤[C]≤4，

∴1≤≤2或﹣2≤≤﹣1，

解得：﹣1≤b≤0或2≤b≤3，

∵點C在第一象限，

∴﹣1≤b≤0，

∵t＝2b2﹣4a+2020＝2b2﹣(b﹣1)2+2020＝b2+2b+2019＝(b+1)2+2018，

∴2018≤t≤2019．