Question

16．如圖，正方形ABCD的邊長為a，點E在AB邊上，四邊形EFGB也是正方形，它的邊長為b（a＞b），連結AF、CF、AC．
（1）用含a、b的代數式表示AE=a-b；
（2）若a+b=10，ab=20，求這兩個正方形的面積之和；
（3）若a=10，△AFC的面積為S，則點E從點A向點B滑動的過程中，S的值是否會發生改變？若會，請說明理由；若不會，請求出S．

Answer 1

分析 （1）根據題意可知：AE=AB-BE=a-b；
（2）根據完全平方公式即可求出答案．
（3）設CF與AB交于點H，分別求出AH、EF、BC的長度即可求出S的值．

解答 解：（1）AE=AB-BE=a-b     
（2）∵（a+b）²=a²+2ab+b²，
∴這兩個正方形的面積之和為：a²+b²=（a+b）²-2ab=100-40=60
（3）設CF與AB交于H，
∴BC=10，GB=GF=b，
∵BH∥GF，
∴△BCH∽△GCF
∴$\frac{BH}{GF}=\frac{BC}{CG}$，
∴BH=$\frac{10b}{10+b}$，
∴AH=AB-BH=$\frac{100}{10+b}$，
∴S=S_△AFH+S_△CHA
=$\frac{1}{2}$AH•GB+$\frac{1}{2}$AH•BC
=$\frac{1}{2}$AH（GB+BC）
=$\frac{1}{2}$AH•GC
=$\frac{1}{2}$×$\frac{100}{10+b}$×（10+b）
=50
∴S的值不會發生改變；

點評 本題考查圖形的面積計算，涉及三角形面積公式，正方形面積公式，完全平方公式，相似三角形的性質與判定，題目較為綜合．