Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，連接OC交⊙O于E，過點A作AF⊥AC于F交⊙O于D，連接DE，BE，BD

（1）求證：∠C＝∠BED；

（2）若AB＝12，tan∠BED＝，求CF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據切線性質、垂直的性質、直角三角形的兩個銳角互余的性質求得∠C+∠AOC＝∠AOC+∠BAD＝90°，即∠C＝∠BAD；然后由圓周角定理推知∠BED＝∠BAD；最后由等量代換得∠C＝∠BED；

（2）根據銳角三角函數的定義求出AC，OC的長，求出AF長，則答案可求出．

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，CA切⊙O于A，

∴∠C+∠AOC＝90°；

又∵OC⊥AD，

∴∠OFA＝90°，

∴∠AOC+∠BAD＝90°，

∴∠C＝∠BAD．

又∵∠BED＝∠BAD，

∴∠C＝∠BED．

（2）解：由（1）知∠C＝∠BAD，tan∠BED＝，

∴tan∠C＝，

∴tan∠C＝，且OA＝AB＝6，

∴ ，解得AC＝8，

∴，

根據∠OFA＝∠OAC＝90°，

∴OCAF＝OAAC，

∴．

∴．