Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2過定點M（，），與直線AB：y＝kx+1相交于A、B兩點．

（1）若k＝﹣，求△ABO的面積．

（2）若k＝﹣，在拋物線上的點P，使得△ABP的面積是△ABO面積的兩倍，求P點坐標．

（3）將拋物線向右平移兩個單位，再向下平移兩個單位，得到拋物線C2，如題圖2，直線y＝kx﹣2（k+）與拋物線C2的對稱軸交點為G，與拋物線C2的交點為P、Q兩點（點P在點Q的左側），試探究是否為定值，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點P（P′）的坐標為：（﹣1﹣，）或（﹣1，）；（3）為定值2，理由詳見解析．

【解析】

（1）設點A、B的橫坐標分別為：x1，x2，則，，即可求解；

（2）在直線AB上方作直線AB的平行線n交y軸于點N、交拋物線于點P（P′），過點O作直線AB的平行線l，根據三角形面積公式知，當CN＝2OC時，△ABP的面積是△ABO面積的兩倍，即可求解；

（3）設點P、Q的橫坐標分別為：x1，x2，則x1+x2＝4k+4，x1x2＝8k，同理x2﹣x1＝4，，則cosα＝，則PG＝＝，同理GQ＝，即可求解．

解：將點M的坐標代入拋物線表達式并解得：a＝，

故拋物線的表達式為：y＝x2…①；

（1）設點A、B的橫坐標分別為：x1，x2，

k＝﹣，直線AB：y＝﹣x+1…②，

故點C（0，1），即OC＝1，

聯立①②并整理得：x2+2x﹣4＝0，

故，，

，

△ABO的面積＝；

（2）在直線AB上方作直線AB的平行線n交y軸于點N、交拋物線于點P（P′），過點O作直線AB的平行線l，

根據三角形面積公式知，當CN＝2OC時，△ABP的面積是△ABO面積的兩倍，

故點N（0，3），則直線n的表達式為：y＝﹣x+3…③，

聯立①③并解得：x＝﹣1，

故點P（P′）的坐標為：（﹣1﹣，）或（﹣1，）；

（3）為定值，理由：

平移后拋物線的表達式為：y＝（x﹣2）2﹣2＝x2﹣x﹣1…④，

函數的對稱軸為：x＝2，直線的表達式：y＝kx﹣2（k+）＝kx﹣2k﹣1…⑤，

則點G（2，﹣1），

設點P、Q的橫坐標分別為：x1，x2，

聯立④⑤并整理得：x2﹣4（k+1）x+8k＝0，

，，同理x2﹣x1＝4，

過點P作x軸的平行線交過點Q與y軸的平行線于點Q，交函數對稱軸與點M，

由⑤知，tan∠QPRk＝tanα，則cosα，

則PG＝＝，同理GQ＝，

2為定值．