Question

【題目】如圖在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E為外角∠BCD平分線上一動點（不與點C重合），點E關于直線BC的對稱點為F，連接BE，連接AF并延長交直線BE于點G．

（1）求證：AF＝BE；

（2）用等式表示線段FG，EG與CE的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）GE2+GF2＝2CE2．證明見解析.

【解析】

(1)根據邊角證明△FCA≌△ECB,所以AF=BE;

(2)FG,EG與CE的數量關系:GE2+GF2=2CE2,先證明∠EGF=∠ECF=90°,然后利用勾股定理證明即可.

解：（1）如圖，連接CF．

∵，∠ACB＝90°，CE平分∠BCD，

∴∠BCE＝45°，

∵點E、F關于直線BC對稱，

∴CE＝CF，

∠FCB＝∠BCE＝45°，

∴∠FCA＝45°，

在△FCA與△ECB中，

∴△FCA≌△ECB（SAS），

∴AF＝BE；

（2）FG，EG與CE的數量關系：GE2+GF2＝2CE2，

證明：∵△FCA≌△ECB，

∴∠AFC＝∠BEC，

∵∠AFC+∠CFG＝180°，

∴∠CFG+∠CEG＝180°，

∴∠ECF+∠EGF＝180°，

∵∠ECF＝45°+45°＝90°，

∴∠EGF＝90°，

連接EF，

∴GE2+GF2＝EF2，

∵CE＝CF，

∴CE2+CF2＝2CE2＝EF2，

∴GE2+GF2＝2CE2．