【題目】在菱形中,
,點
是射線
上一動點,以
為邊向右側作等邊
,點
的位置隨點
的位置變化而變化.
(1)如圖1,當點在菱形
內部或邊上時,連接
,
與
的數量關系是 ,
與
的位置關系是 ;
(2)當點在菱形
外部時,(1)中的結論是否還成立?若成立,請予以證明;若不成立,
請說明理由(選擇圖2,圖3中的一種情況予以證明或說理).
(3) 如圖4,當點在線段
的延長線上時,連接
,若
,
,求四邊形
的面積.
【答案】(1)BP=CE; CE⊥AD;(2)成立,理由見解析;(3) .
【解析】(1)①連接AC,證明△ABP≌△ACE,根據全等三角形的對應邊相等即可證得BP=CE;②根據菱形對角線平分對角可得,再根據△ABP≌△ACE,可得
,繼而可推導得出
,即可證得CE⊥AD;
(2)(1)中的結論:BP=CE,CE⊥AD 仍然成立,利用(1)的方法進行證明即可;
(3)連接AC交BD于點O,CE,作EH⊥AP于H,由已知先求得BD=6,再利用勾股定理求出CE的長,AP長,由△APE是等邊三角形,求得,
的長,再根據
,進行計算即可得.
(1)①BP=CE,理由如下:
連接AC,
∵菱形ABCD,∠ABC=60°,
∴△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∵△APE是等邊三角形,
∴AP=AE ,∠PAE=60° ,
∴∠BAP=∠CAE,
∴△ABP≌△ACE,∴BP=CE;
②CE⊥AD ,
∵菱形對角線平分對角,
∴,
∵△ABP≌△ACE,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴ ,
∴CF⊥AD ,即CE⊥AD;
(2)(1)中的結論:BP=CE,CE⊥AD 仍然成立,理由如下:
連接AC,
∵菱形ABCD,∠ABC=60°,
∴△ABC和△ACD都是等邊三角形,
∴AB=AC,∠BAD=120° ,
∠BAP=120°+∠DAP,
∵△APE是等邊三角形,
∴AP=AE , ∠PAE=60° ,
∴∠CAE=60°+60°+∠DAP=120°+∠DAP,
∴∠BAP=∠CAE,
∴△ABP≌△ACE,∴BP=CE,,
∴∠DCE=30° ,∵∠ADC=60°,
∴∠DCE+∠ADC=90° , ∴∠CHD=90° ,∴CE⊥AD,
∴(1)中的結論:BP=CE,CE⊥AD 仍然成立;
(3) 連接AC交BD于點O,CE,作EH⊥AP
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,BD平分∠ABC ,
∵∠ABC=60°,,
∴∠ABO=30° ,∴ , BO=DO=3,
∴BD=6,
由(2)知CE⊥AD,
∵AD∥BC,∴CE⊥BC,
∵ ,
,
∴,
由(2)知BP=CE=8,∴DP=2,∴OP=5,
∴,
∵△APE是等邊三角形,∴ ,
,
∵,
∴,
=
=
=,
∴四邊形ADPE的面積是 .
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】為發展校園足球運動,我市城區四校決定聯合購買一批足球運動裝備.市場調查發現:甲、乙兩商場以同樣的價格出售同種品牌的足球隊服和足球,已知每套隊服比每個足球多50元,兩套隊服與三個足球的費用相等,經洽談,甲商場優惠方案是:每購買十套隊服,送一個足球;乙商場優惠方案是:若購買隊服超過80套,則購買足球打七折.
(1)求每套隊服和每個足球的價格分別是多少元?
(2)若城區四校聯合購買100套隊服和a(a>10)個足球,請用含a的代數式分別表示出到甲商場和乙商場購買裝備所花費用;
(3)在(2)的條件下,當a=65時,你認為到甲、乙哪家商場購買比較合算?說明理由.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,每一幅圖中都有若干個大小不同的四邊形,第1幅圖中有1個四邊形,第2幅圖中有3個四邊形,第3幅圖中有5個四邊形…
(1)第4幅圖中有 個四邊形,第5幅圖中有 個四邊形;
(2)根據第1幅圖到第5幅圖的規律,推測第幅圖中有 個四邊形;(用含字母
的代數式表示)
(3)如果第幅圖中有4039個四邊形,請你計算
的值.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】概念學習
規定:如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角,那么稱這兩個三角形互為“等角三角形”.
從三角形不是等腰三角形
一個頂點引出一條射線與對邊相交,頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形,如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形,另一個與原來三角形是“等角三角形”,我們把這條線段叫做這個三角形的“等角分割線”.
理解概念
如圖1,在
中,
,
,請寫出圖中兩對“等角三角形”
概念應用
如圖2,在
中,CD為角平分線,
,
.
求證:CD為的等角分割線.
在
中,
,CD是
的等角分割線,直接寫出
的度數.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知正方形ABCD邊長為1,,
,則有下列結論:①
;②點C到EF的距離是2-1;③
的周長為2;④
,其中正確的結論有( )
A.4個B.3個C.2個D.1個
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,若O為BC邊的中點,則必有:AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依據以上結論,解決如下問題:如圖,在矩形DEFG中,已知DE=4,EF=3,點P在以DE為直徑的半圓上運動,則PF2+PG2的最小值為( )
A. B.
C. 34 D. 10
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】小明家1至6月份的用水量統計如圖所示,關于這組數據,下列說法錯誤的是( ).
A、眾數是6噸 B、平均數是5噸 C、中位數是5噸 D、方差是
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖①,四邊形ABCD為正方形,點E,F分別在AB與BC上,且∠EDF=45°,易證:AE+CF=EF(不用證明).
(1)如圖②,在四邊形ABCD中,∠ADC=120°,DA=DC,∠DAB=∠BCD=90°,點E,F分別在AB與BC上,且∠EDF=60°.猜想AE,CF與EF之間的數量關系,并證明你的猜想;
(2)如圖③,在四邊形ABCD中,∠ADC=2α,DA=DC,∠DAB與∠BCD互補,點E,F分別在AB與BC上,且∠EDF=α,請直接寫出AE,CF與EF之間的數量關系,不用證明.
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