Question

【題目】如圖直線與x軸、y軸分別交于點A，B，C是的中點，點D在直線上，以為直徑的圓與直線的另一交點為E，交y軸于點F，G，已知，，則的長是______．

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，設CD的中點為O′，設直線BA交直線y＝﹣2于M，直線y＝﹣2交y軸于P，作CH⊥OB于H，連接O′F，作AJ⊥DM于J，O′N⊥FG于N．首先利用等腰直角三角形的性質和條件可確定A，B，C的坐標，再設D（m，﹣2），進而可得O′N與O′F的長，而FN＝，然后在Rt△O′FN中利用勾股定理構建方程即可求出m，問題即得解決．

解：如圖，設CD的中點為O′，設直線BA交直線y＝﹣2于M，直線y＝﹣2交y軸于P，作CH⊥OB于H，連接O′F，作AJ⊥DM于J，O′N⊥FG于N．

∵CD是⊙O′的直徑，∴∠CED＝90°，

∵直線y＝﹣x+m（m＞0）與x軸、y軸分別交于點A，B，

∴A（m，0），B（0，m），

∴OA＝OB，∴∠OAB＝45°，

∵OA∥DM，∴∠EMD＝∠OAB＝45°，

∵∠DEM＝90°，∴ED＝EM，

∴EC+ED＝EC+EM＝CM＝，

∵JA⊥DM，∴∠AJM＝90°，

∴AJ＝JM＝2，AM＝2，

∴BC＝CA＝4，∴AB＝8，∴BO＝AO＝8，

∴A（8，0），B（0，8），C（4，4），

設D（m，﹣2），則O′（（m+4），1），

∴O′N＝（m+4），O′F＝CD＝，

∵O′N⊥FG，∴FN＝，

在Rt△O′FN中，由勾股定理，得：，解得m＝1，

∴CD＝．

故答案為：．