Question

【題目】在Rt△ABC中，∠C＝90°．

（1）如圖①，點O在斜邊AB上，以點O為圓心，OB長為半徑的圓交AB于點D，交BC于點E，與邊AC相切于點F．求證：∠1＝∠2；

（2）在圖②中作⊙M，使它滿足以下條件：①圓心在邊AB上；②經過點B；③與邊AC相切．（尺規作圖，只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）作圖見解析．

【解析】

（1）連接OF，可證得OF∥BC，結合平行線的性質和圓的特性可求得∠1＝∠OFB＝∠2，可得出結論；

（2）由（1）可知切點是∠ABC的角平分線和AC的交點，圓心在BF的垂直平分線上，由此即可作出⊙M．

解：（1）證明：如圖①，連接OF，

∵AC是⊙O的切線，

∴OE⊥AC，

∵∠C＝90°，

∴OE∥BC，

∴∠1＝∠OFB，

∵OF＝OB，

∴∠OFB＝∠2，

∴∠1＝∠2．

（2）如圖②所示⊙M為所求．①

①作∠ABC平分線交AC于F點，

②作BF的垂直平分線交AB于M，以MB為半徑作圓，

即⊙M為所求．

證明：∵M在BF的垂直平分線上，

∴MF＝MB，

∴∠MBF＝∠MFB，

又∵BF平分∠ABC，

∴∠MBF＝∠CBF，

∴∠CBF＝∠MFB，

∴MF∥BC，

∵∠C＝90°，

∴FM⊥AC，

∴⊙M與邊AC相切．