Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2+bx+2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，AB＝4，矩形OBDC的邊CD＝1，延長DC交拋物線于點E．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點P是直線EO上方拋物線上的一個動點，過點P作y軸的平行線交直線EO于點G，作PH⊥EO，垂足為H．設PH的長為l，點P的橫坐標為m，求l與m的函數關系式（不必寫出m的取值范圍），并求出l的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2x+2；（2）l=+，最大值為.

【解析】

（1）由條件可求得A、B的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（2）可先求得E點坐標，從而可求得直線OE解析式，可知，用m可表示出PG的長，從而可表示出l的長，再利用二次函數的性質可求得其最大值．

（1）∵矩形OBDC的邊CD＝1，

∴OB＝1，

由AB＝4，得OA＝3，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

∵拋物線y＝ax2+bx+2與x軸交于A，B兩點，

∴a+b+2=0，9a－3b+2=0，

解得：a=，b=，

∴拋物線解析式為y＝x2x+2；

（2）在y＝x2x+2中，

當y＝2時，x＝0或x＝﹣2，

∴E（﹣2，2），

∴直線OE解析式為y＝﹣x，∠PGH＝∠COE＝45°，

∵P（m，m2m+2），PG∥y軸，

∴G（m，﹣m），

∴PG＝m2m+2﹣（﹣m）

＝+，

∵∠PGH＝∠COE＝45°，

∴l＝PG

＝+，

∴當m＝時，l有最大值，最大值為.