Question

【題目】如圖，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC與BD交于點O，E為CD延長線上的一點，且CD＝DE，連結BE分別交AC，AD于點F、G，連結OG，則下列結論：①OG＝AB；②與△EGD全等的三角形共有5個；③S四邊形ODGF＞S△ABF；④由點A、B、D、E構成的四邊形是菱形．其中正確的是（　　）

A.①④B.①③④C.①②③D.②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

由AAS證明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，證出OG是△ACD的中位線，得出OG=CD=AB，①正確；先證明四邊形ABDE是平行四邊形，證出△ABD、△BCD是等邊三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四邊形ABDE是菱形，④正確；由菱形的性質得得出△ABG≌△BDG≌△DEG，由SAS證明△ABG≌△DCO，得出△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，得出②不正確；證出OG是△ABD的中位線，得出OG∥AB，OG=AB，得出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，由相似三角形的性質和面積關系得出S四邊形ODGF=S△ABF；③不正確；即可得出結果．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，

∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，

∵CD＝DE，

∴AB＝DE，

在△ABG和△DEG中，

，

∴△ABG≌△DEG（AAS），

∴AG＝DG，

∴OG是△ACD的中位線，

∴OG＝CD＝AB，

∴①正確；

∵AB∥CE，AB＝DE，

∴四邊形ABDE是平行四邊形，

∵∠BCD＝∠BAD＝60°，

∴△ABD、△BCD是等邊三角形，

∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，

∴OD＝AG，四邊形ABDE是菱形，

④正確；

∴AD⊥BE，

由菱形的性質得：△ABG≌△BDG≌△DEG，

在△ABG和△DCO中，

，

∴△ABG≌△DCO（SAS），

∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，

∴②不正確；

∵OB＝OD，AG＝DG，

∴OG是△ABD的中位線，

∴OG∥AB，OG＝AB，

∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，

∴△GOD的面積＝△ABD的面積，△ABF的面積＝△OGF的面積的4倍，AF：OF＝2：1，

∴△AFG的面積＝△OGF的面積的2倍，

又∵△GOD的面積＝△AOG的面積＝△BOG的面積，

∴S四邊形ODGF＝S△ABF；

③不正確；

正確的是①④．

故選：A．