Question

【題目】定義：若拋物線的頂點與x軸的兩個交點構(gòu)成的三角形是直角三角形，則這種拋物線被稱為：“直角拋物線”．如圖，直線l：y＝x+b經(jīng)過點M(0，)，一組拋物線的頂點B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)，…Bn(n，yn)　(n為正整數(shù))，依次是直線l上的點，第一個拋物線與x軸正半軸的交點A1(x1，0)和A2(x2，0)，第二個拋物線與x軸交點A2(x2，0)和A3(x3，0)，以此類推，若x1＝d(0＜d＜1)，當(dāng)d為_____時，這組拋物線中存在直角拋物線．

Answer 1

【答案】、、

【解析】

由拋物線的對稱性可知，所構(gòu)成的直角三角形必是以拋物線頂點為直角頂點的等腰三角形，所以此等腰三角形斜邊上的高等于斜邊的一半．又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜邊的長小于2，所以等腰直角三角形斜邊的高一定小于1，即拋物線的定點縱坐標(biāo)必定小于1．

直線l：y＝x+b經(jīng)過點M(0，)，則b＝；

∴直線l：y＝．

由拋物線的對稱性知：拋物線的頂點與x軸的兩個交點構(gòu)成的直角三角形必為等腰直角三角形；

∴該等腰三角形的高等于斜邊的一半．

∵0＜d＜1，

∴該等腰直角三角形的斜邊長小于2，斜邊上的高小于1(即拋物線的頂點縱坐標(biāo)小于1)；

當(dāng)x＝1時，，

當(dāng)x＝2時，，

當(dāng)x＝3時，，

當(dāng)x＝4時，，

∴直角拋物線的頂點只有B1、B2‘B3．

①若B1為頂點，由，則；

②若B2為頂點，由，則；

③若B3為頂點，由，則d＝；

綜上所述，d的值為或或時．這組拋物線中存在直角拋物線．

故答案為：、、．