Question

【題目】綜合與實(shí)踐：

問(wèn)題情境：（1）如圖1，點(diǎn)E是正方形ABCD邊CD上的一點(diǎn)，連接BD、BE，將∠DBE繞點(diǎn)B順針旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線DA交于點(diǎn)F和點(diǎn)G．

①線段BE和BF的數(shù)量關(guān)系是　 　；

②寫(xiě)出線段DE、DF和BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

操作探究：（2）在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，點(diǎn)E是菱形ABCD邊CD所在直線上的一點(diǎn)，連接BD、BE，將∠DBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線DA交于點(diǎn)F和點(diǎn)G．

①如圖2，點(diǎn)E在線段DC上時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄烤�段DE、DF和BD之間的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出結(jié)論并給出證明．

②如圖3，點(diǎn)E在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，BE交射線DA于點(diǎn)M，若DE＝DC＝2a，直接寫(xiě)出線段FM和AG的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）①BE＝BF，見(jiàn)解析；②DF+DE＝BD，理由見(jiàn)解析；（2）①DF+DE＝BD，理由見(jiàn)解析；②FM＝7a，AG＝4a．

【解析】

（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解答即可；
②根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；
（2）①根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；
②根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可．

（1）①∵∠DBE繞點(diǎn)B順針旋轉(zhuǎn)90°，如圖（1）

由旋轉(zhuǎn)可知，∠DBE＝∠GBF，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BDC＝∠ADB＝45°，

∵∠DBG＝90°，

∴∠G＝45°，

∴∠G＝∠BDG，

∴GB＝BD，

∴△GBF≌△DBE（SAS），

∴BE＝BF；

故答案為：BE＝BF

②DF+DE＝BD，理由如下：

由旋轉(zhuǎn)可知，∠DBE＝∠GBF，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BDC＝∠ADB＝45°，

∵∠DBG＝90°，

∴∠G＝45°，

∴∠G＝∠BDG，

∴GB＝BD，

∴△GBF≌△DBE（SAS），

∴DE＝GF，

∴DF+DE＝DG，

∵DG＝BD，

即DE+DF＝BD；

（2）①DF+DE＝BD，

理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB＝∠ADC＝，

由旋轉(zhuǎn)120°得∠EBF＝∠DBG＝120°，∠EBD＝∠FBG，

在△DBG中，∠G＝180°﹣120°﹣30°＝30°，

∴∠BDG＝∠G＝30°，

∴BD＝BG，

∴△EBD≌△FBG（ASA），

∴DE＝FG，

∴DE+DF＝DF+FG＝DG，

過(guò)點(diǎn)B作BM⊥DG于點(diǎn)M，如圖（2）

∵BD＝BG，

∴DG＝2DM，

在Rt△BMD中，∠BDM＝30°，

∴BD＝2BM．

設(shè)BM＝a，則BD＝2a，

，

∴DG＝2a，

，

∴DF+DE＝BD，

②過(guò)點(diǎn)B作BM⊥DG，BN⊥DC，如圖（3）

∵DE＝DC＝2a，

由①中同理可得：FM＝7a，AG＝4a．