Question

【題目】如圖，拋物線 y＝﹣x2+bx+c 與 x 軸交于 A、B 兩點，與 y 軸交于點 C ，點 A 的坐標為(-1，0)，點 C 的坐標為(0，3)，點D和點 C 關于拋物線的對稱軸對稱，直線 AD 與 y 軸交于點 E ．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，直線 AD 上方的拋物線上有一點 F，過點 F 作 FG⊥AD 于點 G，作 FH 平行于 x 軸交直線 AD 于點 H，求△FGH 周長的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）△FGH周長最大值為：.

【解析】

（1）利用待定系數法求解即可；

（2）根據拋物線的解析式可得對稱軸的方程，即可求出點D的坐標，利用待定系數法可得直線AD的解析式，即可求出點E的坐標，得△OAE是等腰直角三角形，由FH 平行于 x 軸可得△FGH為等腰直角三角形過點 F 作 FM⊥x 軸交 AD 于 M，可得△FMH是等腰直角三角形，即可得出△FGH的周長等于△FGM的周長，配方可求出FM的最大值，即可得出△FGM周長的最大值，進而可得答案．

（1）將 (-1，0)， (0，3)代入y＝﹣x2+bx+c ，得：

－1－b+c=0，c=3，解得：b=2，c=3，

即拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3.

（2）∵y＝﹣x2+2x+3

＝﹣（x﹣1）2+4，

∴拋物線對稱軸為直線 x＝1，點 D 和點 C 關于直線x＝1對稱，

∴D（2，3），

設直線 AD 的解析式為 y＝kx+b，

把 A（﹣1，0），D（2，3）代入得：

，解得，

∴直線AD的解析式為：y＝x+1；

∴E（0，1），

∵OA＝OE，

∴△OAE 為等腰直角三角形，

∴∠EAO＝45°，

∵FH∥OA，△FGH 為等腰直角三角形，

過點 F 作 FM⊥x 軸交 AD 于 M，如圖，

可得FM=FH，

∵FG＝GH＝FH=FM，

∴C△FGH＝（1+）FM，

設F(m，﹣m2+2m+3)，則M(m，m+1)，FM=﹣m2+m+2

∴C△FGH＝（1+）FM，

=（1+）（﹣m2+m+2）

=﹣（1+）

∴當 x＝時，△FGH周長由最大值，最大值為：.