Question

15．如圖①，已知拋物線C₁：y=a（x+1）²-4的頂點為C，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊），點B的橫坐標是1．
（1）求點C的坐標及a 的值；
（2）如圖②，拋物線C₂與C₁關于x軸對稱，將拋物線C₂向右平移4個單位，得到拋物線C₃．C₃與x軸交于點B、E，點P是直線CE上方拋物線C₃上的一個動點，過點P作y軸的平行線，交CE于點F．
①求線段PF長的最大值；
②若PE=EF，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可直接求得頂點C的坐標，把B的坐標代入函數(shù)解析式即可求得a的值；
（2）①C₂的頂點坐標是C關于x軸的對稱點，且二次項系數(shù)互為相反數(shù)，據(jù)此即可求得C₂的解析式，然后根據(jù)平移的性質(zhì)求得C3的解析式．利用待定系數(shù)法求得直線CE的解析式，則PF的長即可利用x表示出來，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得PF的最大值；
②PE=EF則P和F關于x軸對稱，即縱坐標互為相反數(shù)，據(jù)此即可列方程求解．

解答 解：（1）頂點C為（-1，-4）．
∵點B（1，0）在拋物線C₁上，∴0=a（1+1）²-4，解得，a=1；
（2）①∵C₂與C₁關于x軸對稱，
∴拋物線C₂的表達式為y=-（x+1）²+4，
拋物線C₃由C₂平移得到，
∴拋物線C₃為y=-（x-3）²+4=-x²+6x-5，
∴E（5，0），
設直線CE的解析式為：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}-4=-k+b\\ 0=5k+b\end{array}$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{2}{3}\\ b=-\frac{10}{3}\end{array}$，
∴直線BC的解析式為y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{10}{3}$，
設P（x，-x²+6x-5），則F（x，$\frac{2}{3}$x-$\frac{10}{3}$），
∴PF=（-x²+6x-5）-（$\frac{2}{3}$x-$\frac{10}{3}$）=-x²+$\frac{16}{3}$x-$\frac{5}{3}$=-（x-$\frac{8}{3}$）²+$\frac{49}{9}$，
∴當x=$\frac{8}{3}$時，PF有最大值為$\frac{49}{9}$；
②若PE=EF，∵PF⊥x軸，
∴x軸平分PF，
∴-x²+6x-5=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{10}{3}$，
解得x₁=$\frac{5}{3}$，x₂=5（舍去）
∴P（$\frac{5}{3}$，$\frac{20}{9}$）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)的應用，求函數(shù)最值問題常用的方法是轉化為函數(shù)的性質(zhì)問題．