Question

如圖，⊙O的直徑EF=2

3

cm，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2

3

cm．E、F、A、B四點共線．Rt△ABC以1cm/s的速度沿EF所在直線由右向左勻速運動，設運動時間為t（s），當t=0s時，點B與點F重合．
（1）當t為何值時，Rt△ABC的直角邊與⊙O相切？
（2）當Rt△ABC的直角邊與⊙O相切時，請求出重疊部分的面積（精確到0.01）．

Answer 1

分析：（1）分兩種情況，當點B運動到圓心O時，AC邊與⊙O相切；當BC邊與⊙O相切時，分別求得對應的t值．
（2）當點B運動到圓心O時，AC邊與⊙O相切，重疊的部分為扇形，圓心角為60度，
故用扇形的面積公式可求得重疊的部分的面積；
當BC邊與⊙O相切時，⊙O與Rt△ABC的重疊部分為扇形OMGE加上△OAM．

解答：解：
（1）∵∠BAC=30°，AB=2

3

，
∴BC=

3

又∵⊙O的直徑EF=2

3

，即半徑為

3

，
∠ACB=90°，
∴當點B運動到圓心O時，AC邊與⊙O相切．（如圖1所示）（1分）

此時運動距離為FO=

3

，
∴t=

3

s． （2分）
當BC邊與⊙O相切時（如圖2所示），

設切點為G．連接OG，則OG⊥BC．（3分）
由已知，∠BOG=∠BAC=30°，OG=

3

，
∴BO=2． （4分）
又FO=

3

，
∴BF=2+

3

．（此步亦可利用相似求解，請參照給分）
∴此時t=2+

3

s．   （5分）
由上所述，當t=

3

或t=2+

3

秒時，Rt△ABC的直角邊與⊙O相切．（6分）

（2）由圖1，此時⊙O與Rt△ABC的重疊部分為扇形COF． （7分）
由已知，∠COF=60°，∴S扇形COF=

πr2•60

360

=

π

2

cm2． （8分）
由圖2，設AC與⊙O交于點M，
此時⊙O與Rt△ABC的重疊部分為扇形OMGE加上△OAM．  （9分）
過點M作MN⊥OG于N，則MN=GC．
由（1）可知BG=1
則MN=GC=

3

-1．         （10分）
∴sin∠MON=

MN

OM

=

3 -1

3

，
∴∠MON=25°，即∠MOE=55°．     （11分）
∴S扇形OMFE=

πr2•55

360

≈1.439cm2．  （12分）
又∵OM=

3

，
∴點M到AB的距離h=OM•sin∠MOE≈1.419，（13分）
∴S_△AOM=

1

2

•OA•h≈1.229cm²
此時⊙O與Rt△ABC的重疊部分的面積為S_扇形OMEF+S_△AOM≈2.67cm²．（14分）

點評：本題利用了相切的概念，扇形的面積公式，三角形的面積公式，銳角三角函數的概念，直角三角形的性質求解．