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如圖,⊙O的直徑EF=2
3
cm,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=2
3
cm.E、F、A、B四點共線.Rt△ABC以1cm/s的速度沿EF所在直線由右向左勻速運動,設運動時間為t(s),當t=0s時,點B與點F重合.
(1)當t為何值時,Rt△ABC的直角邊與⊙O相切?
(2)當Rt△ABC的直角邊與⊙O相切時,請求出重疊部分的面積(精確到0.01).
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分析:(1)分兩種情況,當點B運動到圓心O時,AC邊與⊙O相切;當BC邊與⊙O相切時,分別求得對應的t值.
(2)當點B運動到圓心O時,AC邊與⊙O相切,重疊的部分為扇形,圓心角為60度,
故用扇形的面積公式可求得重疊的部分的面積;
當BC邊與⊙O相切時,⊙O與Rt△ABC的重疊部分為扇形OMGE加上△OAM.
解答:解:
(1)∵∠BAC=30°,AB=2
3

∴BC=
3

又∵⊙O的直徑EF=2
3
,即半徑為
3

∠ACB=90°,
∴當點B運動到圓心O時,AC邊與⊙O相切.(如圖1所示)(1分)
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此時運動距離為FO=
3

∴t=
3
s. (2分)
當BC邊與⊙O相切時(如圖2所示),
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設切點為G.連接OG,則OG⊥BC.(3分)
由已知,∠BOG=∠BAC=30°,OG=
3

∴BO=2. (4分)
又FO=
3

∴BF=2+
3
.(此步亦可利用相似求解,請參照給分)
∴此時t=2+
3
s.   (5分)
由上所述,當t=
3
或t=2+
3
秒時,Rt△ABC的直角邊與⊙O相切.(6分)

(2)由圖1,此時⊙O與Rt△ABC的重疊部分為扇形COF. (7分)
由已知,∠COF=60°,∴S扇形COF=
πr2•60
360
=
π
2
cm2
. (8分)
由圖2,設AC與⊙O交于點M,
此時⊙O與Rt△ABC的重疊部分為扇形OMGE加上△OAM.  (9分)
過點M作MN⊥OG于N,則MN=GC.
由(1)可知BG=1
則MN=GC=
3
-1
.         (10分)
sin∠MON=
MN
OM
=
3
-1
3

∴∠MON=25°,即∠MOE=55°.     (11分)
S扇形OMFE=
πr2•55
360
≈1.439cm2
.  (12分)
又∵OM=
3

∴點M到AB的距離h=OM•sin∠MOE≈1.419,(13分)
∴S△AOM=
1
2
•OA•h≈1.229cm2
此時⊙O與Rt△ABC的重疊部分的面積為S扇形OMEF+S△AOM≈2.67cm2.(14分)
點評:本題利用了相切的概念,扇形的面積公式,三角形的面積公式,銳角三角函數的概念,直角三角形的性質求解.
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