Question

15．二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過點（-1，0），對稱軸為直線x=2，下列結論：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）若點A（-3，y₁）、點B（-$\frac{1}{2}$，y₂）、點C（$\frac{7}{2}$，y₃）在該函數圖象上，則y₁＜y₃＜y₂；（4）若方程a（x+1）（x-5）=-3的兩根為x₁和x₂，且x₁＜x₂，則x₁＜-1＜5＜x₂．其中正確結論的序號是①④．

Answer 1

分析 由拋物線的對稱軸方程得到b=-4a＞0，則可對①進行判斷；由于x=-3時，y＜0，則可對②進行判斷；

解答 解：∵拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{b}{2a}$=2，
∴b=-4a＞0，即4a+b=0，所以①正確；
∵x=-3時，y＜0，
∴9a-3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②錯誤；
∵拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{b}{2a}$=2，圖象與x軸交于（-1，0），
∴拋物線x軸的另一個交點是（5，0），
∵點A（-3，y₁）、點B（-$\frac{1}{2}$，y₂）、點C（$\frac{7}{2}$，y₃），
∵$\frac{7}{2}$-2=$\frac{3}{2}$，2-（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{3}{2}$＜$\frac{5}{2}$
∴點C離對稱軸的距離近，
∴y₃＞y₂，
∵a＜0，-3＜-$\frac{1}{2}$＜2，
∴y₁＜y₂
∴y₁＜y₂＜y₃，故（4）錯誤．
如圖，∵a＜0，
∴（x+1）（x-5）=-3/a＞0，
即（x+1）（x-5）＞0，
故x＜-1或x＞5，故（5）正確．
故答案為：①④．

點評 本題考查了二次函數圖象與系數的關系：對于二次函數y=ax²+bx+c（a≠0），a決定拋物線的開口方向和大小，當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數由△決定：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．