Question

14．勾股定理是世界上最偉大的定理之一，是用代數思想解決幾何問題的重要工具，也是數形結合的紐帶，周老師在上八年級《從勾股定理到圖形面積關系的拓展》一節拓展課時，教學環節清晰，內容安排有序，問題設計合理（如下），作為課堂主人的你，請積極思考解決下列問題：
【知識回顧】
勾股定理反映了直角三角形三條邊之間的關系：a²+b²=c²，而a²，b²，c²又可以看成是以a，b，c為邊長的正方形面積，因此，勾股定理也可以表述為：分別以直角三角形兩條直角邊為邊長的兩個正方形的面積之和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積（如圖1），即S₁+S₂=S₃．
【問題探究】
（1）如果以直角三角形三條邊a，b，c為直徑，向形外分別作半圓（如圖2），那么三個半圓的面積為S₁，S₂，S₃之間存在怎樣的關系？請直接寫出你認為正確的結論：S₁+S₂=S₃；
（2）類似地，上述結果是否適合其他圖形？適合的，請你在圖3中以直角三角形的三條邊a，b，c為邊，向形外畫出圖形（示意圖），指出你所畫的圖形名稱是：等邊三角形或等腰直角三角形，并寫出證明過程；不存在的，請說明理由．
【拓展應用】
（1）如圖4，已知在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AB=4，分別以AC、BC為直徑作半圓，面積分別記為S₂、S₁，則S₁+S₂的值等于2π；
（2）在Rt△ABC中，∠BAC=Rt∠，分別以AB，AC為直徑作半圓，以BC為直徑作半圓剛好經過點A（如圖5所示），若AB=4，AC=3，則兩個月牙形（陰影部分）的面積之和即S₁+S₂=6．

Answer 1

分析 問題探究：（1）結論：S₁+S₂=S₃，利用圓面積公式以及勾股定理即可證明．
（2）等邊三角形．利用等邊三角形的面積以及勾股定理即可證明．
拓展應用：（1）利用問題探究中的結論即可解決問題．
（2）根據S₁+S₂=$\frac{1}{2}$π（AB）²+$\frac{1}{2}$π（$\frac{1}{2}$AC）²-$\frac{1}{2}$π（$\frac{1}{2}$BC）²+S_△ABC=$\frac{1}{8}$π（BC²+AC²-AB²）+S_△ABC=S_△ABC計算即可．

解答 解：問題探究：（1）結論：S₁+S₂=S₃．理由如下：
∵S₃=$\frac{π}{8}$c²，S₂=$\frac{π}{8}$b²，S₁=$\frac{π}{8}$a²，a²+b²=c²，
∴S₁+S₂=S₃．
故答案為S₁+S₂=S₃．

（2）等邊三角形或等腰直角三角形．
如圖3中，以直角三角形的三條邊a，b，c為邊，向外作等邊三角形，如圖所示，

∵S₁=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，S₂=$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²，S₃=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²，a²+b²=c²，
∴S₂+S₃=S₁．
等腰三角形時證明方法類似．
故答案為等邊三角形或等腰直角三角形．

拓展應用：（1）如圖2中，∵S₁+S₂=S₃，S₃=$\frac{π}{8}$c²=$\frac{π}{8}$×16=2π．
故答案為2π．

2）解：如圖5中，

△ABC中，∵AB²+AC²=BC²
∴S₁+S₂=$\frac{1}{2}$π（AB）²+$\frac{1}{2}$π（$\frac{1}{2}$AC）²-$\frac{1}{2}$π（$\frac{1}{2}$BC）²+S_△ABC=$\frac{1}{8}$π（BC²+AC²-AB²）+S_△ABC=S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×4=6．
故答案為6．

點評 此題主要涉及的知識點：三角形、正方形、圓的面積計算以及勾股定理的應用，解題關鍵是熟練掌握勾股定理的公式，學會用割補法求陰影部分面積，屬于中考常考題型．．