Question

8．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是Rt△ABC的一條角平分線，點O、E、F分別在BD、BC、AC上，且四邊形OECF是正方形（四邊相等，四個角都是直角），
（1）求證：點O在∠BAC的平分線上；
（2）若AC=5，BC=12，AB=13，求OE的長．

Answer 1

分析 （1）過點O作OM⊥AB，由角平分線的性質得OE=OM，由正方形的性質得OE=OF，易得OM=OF，由角平分線的判定定理得點O在∠BAC的平分線上；
（2）設CE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，由已知條件可建立方程組，解方程組即可求出OE的長．

解答 解：
（1）證明：過點O作OM⊥AB，
∵BD是∠ABC的一條角平分線，OM⊥AB，OE⊥BC
∴OE=OM，
∵四邊形OECF是正方形
∴OE=OF，OF⊥AC
∴OM=OF，
∴點O在∠BAC的平分線上；
（2）∵在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，
設CE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=12}\\{y+z=13}\\{x+z=5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=10}\\{z=3}\end{array}\right.$，
∴CE=2，
∴OE=2．

點評 本題主要考查了正方形的性質，以及角平分線定理及性質，熟練掌握正方形的性質，運用方程思想是解本題的關鍵．