Question

2．某農(nóng)場(chǎng)的一個(gè)家電商場(chǎng)為了響應(yīng)國(guó)家家電下鄉(xiāng)的號(hào)召，準(zhǔn)備用不超過(guò)105400元購(gòu)進(jìn)40臺(tái)電腦，其中A型電腦每臺(tái)進(jìn)價(jià)2500元，B型電腦每臺(tái)進(jìn)價(jià)2800元，A型每臺(tái)售價(jià)3000元，B型每臺(tái)售價(jià)3200元，預(yù)計(jì)銷(xiāo)售額不低于123200元．設(shè)A型電腦購(gòu)進(jìn)x臺(tái)、商場(chǎng)的總利潤(rùn)為y（元）．
（1）請(qǐng)你設(shè)計(jì)出所有的進(jìn)貨方案；
（2）在上述的進(jìn)貨方案中，哪種方案的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少元？
（3）商場(chǎng)準(zhǔn)備拿出（2）中的最大利潤(rùn)的一部分再次購(gòu)進(jìn)A型和B型電腦至少各兩臺(tái)，另一部分為地震災(zāi)區(qū)購(gòu)買(mǎi)單價(jià)為500元的帳篷若干頂．在錢(qián)用盡三樣都購(gòu)買(mǎi)的前提下請(qǐng)直接寫(xiě)出購(gòu)買(mǎi)A型電腦、B型電腦和帳篷的方案．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A型電腦購(gòu)進(jìn)x臺(tái)，則B型電腦購(gòu)進(jìn)（40-x）臺(tái)，根據(jù)總進(jìn)價(jià)不超過(guò)105400元和銷(xiāo)售額不低于123200元建立不等式組，求出其解即可；
（2）根據(jù)利潤(rùn)等于售價(jià)-進(jìn)價(jià)的數(shù)量關(guān)系分別表示出購(gòu)買(mǎi)A型電腦的利潤(rùn)和B型電腦的利潤(rùn)就求其和就可以得出結(jié)論；
（3）設(shè)再次購(gòu)買(mǎi)A型電腦a臺(tái)，B型電腦b臺(tái)，帳篷c頂，a≥2，b≥2，c≥1，且a、b、c為整數(shù)，根據(jù)條件建立方程運(yùn)用討論法求出其解即可．

解答 解：（1）設(shè)A型電腦購(gòu)進(jìn)x臺(tái)，則B型電腦購(gòu)進(jìn)（40-x）臺(tái)．
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{2500x+2800（40-x）≤105400}\\{3000x+3200（40-x）≥123200}\end{array}\right.$，
解得：22≤x≤24．
∵x為整數(shù)，
∴x=22，23，24
∴有3種購(gòu)買(mǎi)方案：
方案1：購(gòu)A型電腦22臺(tái)，B型電腦18臺(tái)；
方案2：購(gòu)A型電腦23臺(tái)，B型電腦17臺(tái)；
方案3：購(gòu)A型電腦24臺(tái)，B型電腦16臺(tái)；
（2）由題意，得
y=（3000-2500）x+（3200-2800）（40-x），
=500x+16000-400x，
=100x+16000．
∵k=100＞0，
∴y隨x的增大而增大，
∴x=24時(shí)，y_最大=18400元．

（3）設(shè)再次購(gòu)買(mǎi)A型電腦a臺(tái)，B型電腦b臺(tái)，帳篷c頂，由題意，得
2500a+2800b+500c=18400，
c=$\frac{184-25a-28b}{5}$．
∵a≥2，b≥2，c≥1，且a、b、c為整數(shù)，
∴184-25a-28b＞0，且是5的倍數(shù)．且c隨a、b的增大而減小．
當(dāng)a=2，b=2時(shí)，184-25a-28b=78，舍去；
當(dāng)a=2，b=3時(shí)，184-25a-28b=50，故c=10；
當(dāng)a=3，b=2時(shí)，184-25a-28b=53，舍去；
當(dāng)a=3，b=3時(shí)，184-25a-28b=25，故c=5；
當(dāng)a=3，b=4時(shí)，184-25a-28b=-2，舍去，
當(dāng)a=4，b=3時(shí)，184-25a-28b=0，舍去．
∴有2種購(gòu)買(mǎi)方案：
方案1：購(gòu)A型電腦2臺(tái)，B型電腦3臺(tái)，帳篷10頂，
方案2：購(gòu)A型電腦3臺(tái)，B型電腦3臺(tái)，帳篷5頂．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了列不等式組解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，一次函數(shù)的解析式的性質(zhì)的運(yùn)用，方案設(shè)計(jì)的運(yùn)用，不定方程的解法的運(yùn)用，分類(lèi)討論思想的運(yùn)用，解答時(shí)求出解析式是解答本題的關(guān)鍵，巧解一元三次不定方程是解答本題的難點(diǎn)．