Question

16．如圖1，拋物線與x軸交于點A（3，0），B（8，0），與y軸交于點C，直線l是它的對稱軸，將△AOC沿AC翻折，點O恰好落在BC邊上的點G處．

（1）示點C的坐標，寫求拋物線的解析式；
（2）如圖2，線段CB上有一動點P，從C點開始以每秒1個單位的速度向B點運動，過點P作PM⊥BC交線段CA于點M，記點P運動時間為t，△CPO與△CPM的面積之差為y，求y與t之間的關系式，并寫出自變量t的取值范圍．
（3）在（2）的基礎上，t取何值時y有最大值，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）利用A（3，0），B（8，0）的橫坐標，求出直線l表達式，即3與8的平均數即為l的表達式；
（2）過點P作PL⊥OC，垂足為L，則∠CPL=∠B，由題意得CP=t，則LP=CP，表示出△CPO的面積為：$\frac{1}{2}$OC•PL=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{4t}{5}$=$\frac{12t}{5}$，在Rt△AOC中，表示出△CPM的面積為$\frac{1}{2}$CP•PM=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{t}{2}$=$\frac{1}{4}$t²，從而得到y(tǒng)=$\frac{12t}{5}$-$\frac{1}{4}$t²（0＜t≤6）； （0＜t≤6），（3）將（2）中函數解析式配方成頂點式，進而求出最大值．

解答 解：（1）∵AC平分∠OCB，
∴AG=OA=3，CG=OC，AB=5，
∴GB=4．
設OC=x則CB=x+4，由勾股定理得：x²+8²=（x+4）²，得x=6，
∴C的坐標為（0，6）．
設拋物線解析式為：y=a（x-3）（x-8），將點C坐標代入可得a=$\frac{1}{4}$
∴y=$\frac{1}{4}$（x-3）（x-8）=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{11}{4}$x+6；

（2）過點P作PL⊥OC，垂足為L，

則∠CPL=∠B，
而Rt△BOC中，sin∠B=$\frac{OC}{BC}$=$\frac{3}{5}$，cos∠B=$\frac{4}{5}$，
由題意得CP=t，則LP=CPcos∠B=$\frac{4t}{5}$，
△CPO的面積為：$\frac{1}{2}$OC•PL=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{4t}{5}$=$\frac{12t}{5}$，
∵CA平分∠OCB，
∴∠MCP=∠OCA，
Rt△AOC中，tan∠OCA=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∴PM=$\frac{t}{2}$．
△CPM的面積為：$\frac{1}{2}$CP•PM=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{t}{2}$=$\frac{1}{4}$t²，
∴y=$\frac{12t}{5}$-$\frac{1}{4}$t²（0＜t≤6）；

（3）∵y=$\frac{12t}{5}$-$\frac{1}{4}$t²=-$\frac{1}{4}$（t-$\frac{24}{5}$）²+$\frac{144}{25}$，
∴當t=$\frac{24}{5}$時，y有最大值為$\frac{144}{25}$．

點評 本題考查了二次函數綜合題，涉及待定系數法求二次函數解析式、動點問題、函數最值、配方法等知識，是一道綜合性很強的題目，有一定難度．