Question

1．已知菱形OABC在平面直角坐標系的位置如圖所示，頂點A（5，0），OB=4$\sqrt{5}$，點P是對角線OB上的一個動點，D（0，1），當CP+DP最短時，點P的坐標為（$\frac{10}{7}$，$\frac{5}{7}$）．

Answer 1

分析 如圖連接AC，AD，分別交OB于G、P，作BK⊥OA于K．首先說明點P就是所求的點，再求出點B坐標，求出直線OB、DA，列方程組即可解決問題．

解答 解：如圖連接AC，AD，分別交OB于G、P，作BK⊥OA于K．

∵四邊形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=2$\sqrt{5}$，A、C關于直線OB對稱，
∴PC+PD=PA+PD=DA，
∴此時PC+PD最短，
在RT△AOG中，AG=$\sqrt{O{A}^{2}-O{G}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AC=2$\sqrt{5}$，
∵OA•BK=$\frac{1}{2}$•AC•OB，
∴BK=4，AK=$\sqrt{A{B}^{2}-B{K}^{2}}$=3，
∴點B坐標（8，4），
∴直線OB解析式為y=$\frac{1}{2}$x，直線AD解析式為y=-$\frac{1}{5}$x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-\frac{1}{5}x+1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{10}{7}}\\{y=\frac{5}{7}}\end{array}\right.$，
∴點P坐標（$\frac{10}{7}$，$\frac{5}{7}$）．
故答案為：（$\frac{10}{7}$，$\frac{5}{7}$）．

點評 本題考查菱形的性質、軸對稱-最短問題、坐標與圖象的性質等知識，解題的關鍵是正確找到點P位置，構建一次函數，列出方程組求交點坐標，屬于中考常考題型．