Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，AD是BC邊上的高，以D為直角頂點(diǎn)的Rt△DEF繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，DE、EF分別與邊AB、AC交于點(diǎn)M、N，則線段MN的最大值與最小值的差為$\frac{16}{5}$．

Answer 1

分析 首先由勾股定理求出BC和CD，再利用三角形相似就可以求出結(jié)論，由條件把AM、AN用含x的式子表示出來(lái)，由勾股定理把MN表示出來(lái)，再根據(jù)取值范圍得到線段MN的最大值與最小值，再相減解答即可．

解答 解：∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵AD是BC邊上的高，
∴∠DAC+∠C=90°
∴∠B+∠DAC=90°，
∴∠BDM+∠MDA=∠ADN+∠MDA=90°
∴∠BDM=∠ADN，
∴△BMD∽△AND，
∴$\frac{DM}{DN}$=$\frac{BD}{AD}$，
∵$\frac{BD}{AD}$=cotB=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，
∴DM：DN=$\frac{3}{4}$，
∵△BMD∽△AND，
∴$\frac{BM}{AN}$=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{3}{4}$，
∴AN=$\frac{4}{3}$BM，
設(shè)BM為x，則AN=$\frac{4}{3}$x，AM=6-x，
∵∠BAC=90°，
∴MN²=（6-x）²+（$\frac{4}{3}$x）²=（$\frac{5}{3}$x-$\frac{18}{5}$）²+$\frac{576}{25}$，
∵AB=6，即0≤x≤6，
∴線段MN的最大值是$\sqrt{（\frac{5}{3}×6-\frac{18}{5}）^{2}+\frac{576}{25}}$=$\sqrt{64}$=8，最小值是$\sqrt{\frac{576}{25}}$=$\frac{24}{5}$，
8-$\frac{24}{5}$=$\frac{16}{5}$．
故線段MN的最大值與最小值的差為$\frac{16}{5}$．
 故答案為：$\frac{16}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用勾股定理得出BC和CD，再將AM、AN用含x的式子表示出來(lái)，利用二次函數(shù)的最值計(jì)算即可．