Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=12，點D在斜邊AB上，分別作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為點E，F(xiàn)，得四邊形DECF，設DE=x，DF=y．
（1）求y關于x的函數關系式，并求出x的取值范圍；
（2）設四邊形DECF的面積為S，求S與x之間的函數關系式，并求出當x為何值時，S有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）根據余角的性質即可推出∠A=∠BDF，繼而求證△ADE∽△DBF，結合對應邊成比例和BF=6-x，AE=12-y，即可求出y=-2x+12（0＜x＜6）；
（2）根據（1）所推出的結論，結合矩形的面積公式通過等量代換，即可求出二次函數S=DE•DF=-2x²+12x，然后根據二次函數的最值公式即可求出S的最大值．

解答 解：（1）∵∠C=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠A+∠B=90°，∠BDF+∠ADE=90°，
∴∠A=∠BDF，
∴△ADE∽△DBF，
∴$\frac{AE}{DF}$=$\frac{DE}{BF}$，
∵四邊形DECF是矩形，DF=y，DE=x，
∴CF=x，CE=y，
∴BF=BC-CF=6-x，
∵AE=12-y，
∴$\frac{12-y}{y}$=$\frac{x}{6-x}$，
∴y=-2x+12（0＜x＜6），

（4）∵y=-2x+12，DE=x，DF=y，
∴S=DE•DF=xy=x（-2x+12）=-2x²+12x=-2（x²-6x+9）+18，
即S=-2（x-3）²+18，
∴當x=3時，S有最大值，最大值是18．

點評 本題主要考查相似三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，矩形的面積，二次函數的最值等知識點，角的三角函數，關鍵在于求證△ADE∽△DBF，用關于x、y的式子表達出相關的線段，認真地進行計算．