Question

10．如圖，點O為弧AB所在圓的圓心，OA⊥OB，點P在弧AB上，AP的延長線與OB的延長線交于點C，過點C作CD⊥OP于D．若OB=BC=1，則PD的長為（　　）

• A． $\frac{2}{5}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 過點O作OE⊥AP于點E，證△AOE∽△ACO得$\frac{AO}{AC}$=$\frac{AE}{AO}$，由OA=OB=BC=1得AC=$\sqrt{A{O}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，從而得$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{AE}{1}$，即AE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，由垂徑定理得PE=AE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，再證△OPE∽△CPD得$\frac{PE}{PD}$=$\frac{OP}{CP}$，即$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{PD}$=$\frac{1}{\frac{3\sqrt{5}}{5}}$，從而得出答案．

解答 解：過點O作OE⊥AP于點E，

則∠AEO=∠AOC=90°，
∵∠OAE=∠CAO，
∴△AOE∽△ACO，
∴$\frac{AO}{AC}$=$\frac{AE}{AO}$，
∵OA=OB=BC=1，
∴AC=$\sqrt{A{O}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{AE}{1}$，得AE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵OE⊥AP，
∴PE=AE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴PC=AC-AP=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∵∠OEP=∠D=90°，∠OPE=∠CPD，
∴△OPE∽△CPD，
∴$\frac{PE}{PD}$=$\frac{OP}{CP}$，即$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{PD}$=$\frac{1}{\frac{3\sqrt{5}}{5}}$，
解得：PD=$\frac{3}{5}$，
故選：C．

點評 本題主要考查相似三角形的判定與性質、垂徑定理、勾股定理等知識點，根據題意構建與直角邊PD相關的相似三角形是解題的出發點也是關鍵．