Question

7．已知：如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，且AD⊥BD，垂足為D，AD與BC相交于點H．
求證：AH=2BD．

Answer 1

分析 延長AC，BD交于點E，首先證明△ACH≌△BCE，則AH=BE，然后再證明△ABD≌△AED，則BD=DE，即BE=2BD，通過等量代換可得到問題的答案．

解答 證明：延長AC，BD交于點E．

∵AD⊥BD，∠ACB=90°
∴∠ADB=∠ACB=90°．
∵∠AHC=∠BHD，
∴∠CAH=∠CBE．
在△CAH和△CBE中$\left\{\begin{array}{l}∠CAH=∠CBE\\ CA=CB\\∠ACH=∠BCE\end{array}\right.$
∴△ACH≌△BCE（ASA）
∴AH=BE．
在△ABD和△AED中$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠ADE}\\{AD=AD}\\{∠BAD=∠EAD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AED
∴BD=DE．
∴BE=2BD
∴AH=2BD．

點評 本題主要考查的是全等三角形的性質和判定定理的應用，掌握本題的輔助線的作法是解題的關鍵．