Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形，，，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)不與點(diǎn)A，C重合，連接PD，作交射線BC于點(diǎn)E，以線段PD，PE為鄰邊作矩形PEFD．

線段PD的最小值為______；

求證：，并求矩形PEFD面積的最小值；

是否存在這樣的點(diǎn)P，使得是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出PE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3） PE的長(zhǎng)為或．

【解析】

如圖1中，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，DP的值最小利用面積法即可解決問(wèn)題；

如圖2中，連接DE、PF交于點(diǎn)O，連接FC，首先證明D、P、E、C、F五點(diǎn)共圓，由∽，推出，即可解決問(wèn)題；

分兩種情形：點(diǎn)E在線段BC上，點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上，分別求解即可解決問(wèn)題；

解：如圖1中，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，DP的值最小．

在中，，，

，

，

．

故答案為．

證明：如圖2中，連接DE、PF交于點(diǎn)O，連接FC，OC．

四邊形DPEF是矩形，

，

，

，

，

、P、E、C、F五點(diǎn)共圓，

是直徑，

，

，

，

，

，

，

，

，

∽，

，

，

．

∴S矩形PEFD=PE·PD=PD2.

∵PD的最小值是，

∴矩形PEFD面積的最小值是=×()2=.

解：如圖3中，設(shè)AC交DE于H．

當(dāng)時(shí)，易證≌，

，

，

，

，

，

，

．

如圖4中，

當(dāng)時(shí)，，

，

在CD上取一點(diǎn)H，速度，則，設(shè)，則，，

，

，

，，

，

綜上所述，PE的長(zhǎng)為或．