Question

14．如圖，等邊△ABC中，D是邊BC上的一點，且BD：DC=1：3，把△ABC折疊，使點A落在邊BC上的點D處，那么$\frac{AM}{AN}$的值為$\frac{5}{7}$．

Answer 1

分析 由BD：DC=1：3，可設BD=a，則CD=3a，根據等邊三角形的性質和折疊的性質可得：BM+MD+BD=5a，DN+NC+DC=7a，再通過證明△BMD∽△CDN即可證明AM：AN的值．

解答 解：∵BD：DC=1：3，
∴設BD=a，則CD=3a，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=4a，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
由折疊的性質可知：MN是線段AD的垂直平分線，
∴AM=DM，AN=DN，
∴BM+MD+BD=5a，DN+NC+DC=7a，
∵∠MDN=∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠NDC+∠MDB=∠BMD+∠MBD=120°，
∴∠NDC=∠BMD，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴△BMD∽△CDN，
∴（BM+MD+BD）：（DN+NC+CD）=AM：AN，
即AM：AN=5：7，
故答案為$\frac{5}{7}$．

點評 本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質以及折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．